这张图其实是一张“导数—图像性质对照表”，把一阶导数、二阶导数和函数图像的形状、单调性、极值、凹凸性、拐点一一对应起来。按从左到右、从上到下给你系统解释。
第一行：一阶导数 & 单调性
① 可导 ⇒ 图像平滑
f 在区间上可导 ⇒ 图像是平滑曲线
- 没有尖点、断点、折角
- 切线连续变化
📌 可导是“光滑”的数学保证
② (f’(x) > 0) ⇒ 函数递增
在开区间上 (f’(x) > 0) ⇒ (f(x)) 单调递增
- 从左往右一直往上走
③ (f’(x) < 0) ⇒ 函数递减
在开区间上 (f’(x) < 0) ⇒ (f(x)) 单调递减
- 从左往右一直往下走
第二行：极值（局部最大 / 最小）
④ (f’) 变号 ⇒ 有局部极值
这是极值最本质的判定
- (+\rightarrow-) ⇒ 局部最大值
- (-\rightarrow+) ⇒ 局部最小值
📌 不要求 (f’(c)=0)（也可能导数不存在）
⑤ (f’(c)=0) 且 (f”(c)<0) ⇒ 局部最大值
二阶导数判别法（凹向下）
- 像 “∩”
- 顶点是最大值
⑥ (f’(c)=0) 且 (f”(c)>0) ⇒ 局部最小值
二阶导数判别法（凹向上）
- 像 “∪”
- 底点是最小值
第三行：二阶导数 & 凹凸性 / 拐点
⑦ (f”(x) > 0) ⇒ 凹向上（concave up）
- 图像像碗 ∪
- 切线斜率在“变大”
⑧ (f”(x) < 0) ⇒ 凹向下（concave down）
- 图像像倒碗 ∩
- 切线斜率在“变小”
⑨ (f”) 变号 ⇒ 有拐点（inflection point） ⭐
这是拐点的唯一本质判定
- 左边凹向上，右边凹向下
- 或反过来
📌 注意：
- 不是：(f”(c)=0) 就是拐点
- 而是：(f”) 在 (c) 左右 变号
四、把整张图压缩成「考试速查表」
一阶导数 (f’) 决定：
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| (f’>0) | 递增 |
| (f’<0) | 递减 |
| (f’) 变号 | 局部极值 |
二阶导数 (f”) 决定：
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| (f”>0) | 凹向上 |
| (f”<0) | 凹向下 |
| (f”) 变号 | 拐点 |
五、最容易混的三点（重点）
1️⃣ 极值 ≠ 拐点
- 极值看 (f’)
- 拐点看 (f”)
2️⃣ (f”(c)=0) 只是“候选拐点”
- 必须检查左右是否变号
3️⃣ (f’(c)=0) 不一定有极值
- 可能是拐点（如 (x^3)）