微积分链式法则

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$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\cos (t^2),dt$ 的详细证明（Obsidian版）

1. 目标表达式

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\cos (t^2),dt$$

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2. 所用工具（理论基础）

2.1 微积分基本定理（第一部分）

若定义

$$G(u)={\int }_a^{u}f(t),dt,$$

则

$$G^{\prime }(u)=f(u).$$

（解释：当积分上限是变量时，对该变量求导的结果是被积函数在上限处的取值）

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2.2 链式法则（Chain Rule）

若

$$y=G(u),u=u(x),$$

则

$$\frac{dy}{dx}=G^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x).$$

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3. 建立函数关系

令

$$u(x)=x^2$$

再定义

$$G(u)={\int }_0^u\cos (t^2),dt$$

于是原式可写为复合函数：

$$y(x)=G(u(x))$$

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4. 分别求导

4.1 对 $G(u)$ 求导（应用基本定理 I）

由

$$G(u)={\int }_0^u\cos (t^2),dt$$

可得

$$G^{\prime }(u)=\cos (u^2)$$

（原因：被积函数为 $\cos (t^2)$，代 $t=u$ 得 $\cos (u^2)$）

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4.2 对 $u(x)=x^2$ 求导

$$u^{\prime }(x)=\frac{du}{dx}=2x$$

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5. 用链式法则合成最终结果

根据链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=G^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$$

代入已知结果：

$$\frac{dy}{dx}=\cos (u^2)\cdot (2x)$$

再将 $u=x^2$ 代回：

$$\frac{dy}{dx}=\cos ((x^2{)}^2)\cdot 2x=2x\cos (x^4)$$

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6. 最终答案

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\cos (t^2),dt=2x\cos (x^4)}$$

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7. 与教材步骤对照

教材给出：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

对应本证明的：

• $\frac{dy}{du}=\cos (u^2)$（基本定理 I）
• $\frac{du}{dx}=2x$（普通求导）
• 代回 $u=x^2$ 得 $2x\cos (x^4)$

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