微积分基本定理：为什么 (A(b)=F(b)-F(a))

1. 定义面积函数

定义：

$$A(x)={\int }_a^{x}f(t),dt$$

表示从 (t=a) 到 (t=x) 的累积面积。

于是特别地：

$$A(b)={\int }_a^{b}f(t),dt$$

2. 面积函数的导数（FTC Part I）

微积分基本定理第一部分告诉我们：

$$A^{\prime }(x)=f(x)$$

因此：

面积函数 (A(x)) 是 (f(x)) 的一个反导数

---

3. 一般反导数 (F(x))

令 (F(x)) 是 (f(x)) 的任意一个反导数，即：

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

由于：

$$A^{\prime }(x)=f(x)\text{且}{F}^{\prime }(x)=f(x)$$

所以 (A(x)) 和 (F(x)) 的导数相同。

---

4. “导数相同”带来的结论

若两个函数导数相同，则它们只差一个常数：

$$F(x)=A(x)+C$$

其中 (C) 为常数。

---

5. 利用 (A(a)=0) 求出常数 (C)

因为：

$$A(a)={\int }_a^{a}f(t),dt=0$$

代入 (x=a) 得：

$$F(a)=A(a)+C=0+C$$

所以：

$$C=F(a)$$

---

6. 回代求得 (A(x)) 与 (F(x)) 的关系

由：

$$F(x)=A(x)+F(a)$$

移项：

$$A(x)=F(x)-F(a)$$

---

7. 对 (x=b) 取值得到结论

取 (x=b)：

$$A(b)=F(b)-F(a)$$

结合：

$$A(b)={\int }_a^{b}f(t),dt$$

最终得到微积分基本定理第二部分：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x),dx=F(b)-F(a)}$$

---

总结（便于记忆）

• (A(x)=\int_a^x f(t),dt) 是面积函数
• (A’(x)=f(x)) ⇒ (A(x)) 是反导数
• 任意反导数之间只差常数
• (A(a)=0) 用来消掉常数
• 因此：

$$\boxed{A(b)=F(b)-F(a)}$$

---