相关例题

Q1 — Random Variable Identification（随机变量识别）

Question (EN): For each of the following, determine whether the variable is discrete or continuous:

1. Number of defective light bulbs in a box.
2. Weight of a customer package.
3. Number of calls received by a call center per hour.

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题目（中文）：
判断下列随机变量属于离散型还是连续型：

1. 盒中损坏灯泡的数量
2. 顾客包裹的重量
3. 客服中心每小时接到的电话数量

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4. Discrete — countable number of bulbs.
5. Continuous — weight can take any real value.
6. Discrete — number of calls is countable.

结论： 离散变量：1、3；连续变量：2。

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解析：
离散变量取可数值（如数量），连续变量可取任意实数（如重量、时间）。

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Q2 — Probability Distribution Validation（概率分布验证）

Question (EN): Given a discrete distribution:
$x$: 0, 1, 2, 3
$f(x)$: 0.25, 0.35, 0.30, 0.10
Is this a valid probability distribution?

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题目（中文）：
已知离散分布如下，判断是否为有效概率分布：
$x$: 0, 1, 2, 3
$f(x)$: 0.25, 0.35, 0.30, 0.10

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$\sum f(x)=0.25+0.35+0.30+0.10=1.00$.
All $f(x)\ge 0$.
✅ Valid distribution.
结论： 有效概率分布。

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公式： $\sum f(x)=1$ 且 $f(x)\ge 0$。
逻辑： 若概率和等于1且非负，则为有效分布。

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Q3 — Expected Value Calculation（期望值计算）

Question (EN): A small shop sells 0, 1, 2, or 3 TVs per day with probabilities:
$f(x)=\{0.2,0.5,0.2,0.1\}$.
Find the expected value $E(X)$.

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题目（中文）：
某店每日售出电视数量 $x=0,1,2,3$ 的概率分别为 $f(x)=\{0.2,0.5,0.2,0.1\}$。
计算期望值 $E(X)$。

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$E(X)=\sum xf(x)=0(0.2)+1(0.5)+2(0.2)+3(0.1)=1.2$.
结论： 每日平均售出 $1.2$ 台电视。

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公式： $E(X)=\sum xf(x)$。
解释： 期望值表示长期平均结果。

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Q4 — Variance and Standard Deviation（方差与标准差）

Question (EN): Given $x=\{0,1,2,3\}$ and $f(x)=\{0.4,0.25,0.2,0.15\}$, compute variance and standard deviation.

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题目（中文）：
已知 $x=\{0,1,2,3\}$，$f(x)=\{0.4,0.25,0.2,0.15\}$，求方差与标准差。

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$E(X)=0(0.4)+1(0.25)+2(0.2)+3(0.15)=1.1$.
$Var(X)=\sum (x-\mu {)}^{2}f(x)=1.19$,
$\sigma =\sqrt{1.19}=1.09$.
结论： 方差 $1.19$，标准差 $1.09$。

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公式： $Var(X)=\sum (x-\mu {)}^{2}f(x)$，$\sigma =\sqrt{Var(X)}$。
解释： 方差衡量结果的离散程度。

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Q5 — Uniform Distribution（均匀分布）

Question (EN): If a die is fair, what is the probability of each face and total probability?

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题目（中文）：
若骰子公平，每面出现的概率是多少？所有面的总概率是多少？

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$f(x)=1/6$ for each face.
$\sum f(x)=6(1/6)=1$.
结论： 每面概率 $1/6$，总和 $1$。

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均匀分布意味着所有结果概率相等，故 $f(x)=1/n$。

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Q6 — Non-Uniform Probability（非均匀概率分布）

Question (EN): A company’s daily sales of smartphones $x=\{0,1,2,3\}$ occur with $f(x)=\{0.5,0.3,0.15,0.05\}$.
Find the probability that the company sells at least one smartphone.

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题目（中文）：
某公司每日手机销售量 $x=\{0,1,2,3\}$，概率为 $f(x)=\{0.5,0.3,0.15,0.05\}$。
求售出至少一台手机的概率。

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$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0.5=0.5$.
结论： 概率为 $0.5$。

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至少一台等价于 $1-P(X=0)$。
通过补集求法更简便。

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Q7 — Expected Profit（期望收益）

Question (EN): A lottery costs $10 to play and pays $100 with probability 0.05, nothing otherwise.
Find expected profit per play.

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题目（中文）：
一种彩票每次花费 $10，中奖概率为 0.05，奖金为 $100，否则无收益。
求每次游戏的期望收益。

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$E(X)=100(0.05)+0(0.95)-10=5-10=-5$.
结论： 平均每次亏损 $5。

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将成本计入期望计算。
负值表示平均亏损。

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Q8 — Probability Table Analysis（概率表分析）

Question (EN): For random variable $X$ with
$x=\{1,2,3,4\}$ and $f(x)=\{0.2,0.3,0.4,0.1\}$,
find $P(X\le 2)$ and $P(X>3)$.

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题目（中文）：
随机变量 $X$ 取值 $1,2,3,4$，对应概率 $f(x)=\{0.2,0.3,0.4,0.1\}$。
求 $P(X\le 2)$ 与 $P(X>3)$。

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$P(X\le 2)=f(1)+f(2)=0.2+0.3=0.5$,
$P(X>3)=f(4)=0.1$.
结论： $P(X\le 2)=0.5$，$P(X>3)=0.1$。

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概率求和规则：离散变量求并集概率用直接加法。

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Q9 — Variance Interpretation（方差解释）

Question (EN): Two stores have daily sales standard deviations of ${\sigma }_A=3$ and ${\sigma }_B=8$.
Which store shows more variability?

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题目（中文）：
两家商店的日销售标准差分别为 ${\sigma }_A=3$ 与 ${\sigma }_B=8$。
哪一家波动更大？

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Store B has larger σ → greater variability.
结论： 商店B波动更大。

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标准差越大，数据分散越广，表示波动更大。

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Q10 — Application of Expected Value（期望值应用）

Question (EN): A machine produces parts:

• 98% good ($+$$0 gain)
• 2% defective (repair cost $20 each).
  Find expected cost per part.

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题目（中文）：
一台机器生产零件，其中 98% 合格（无成本），2% 次品（修理成本 $20/件）。
求每个零件的期望成本。

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$E(Cost)=0(0.98)+20(0.02)=0.4$.
结论： 平均每件成本 $0.40。

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期望值公式：$E(X)=\sum xf(x)$。
反映长期平均成本水平。