相关例题

Q21 — Probability of Customer Arrivals（顾客到达的概率）

Question (EN):
A small café receives an average of 5 customers every 10 minutes during the morning rush.
Assuming customer arrivals follow a Poisson distribution, calculate the following:

1. The probability that exactly 3 customers arrive in 10 minutes.
2. The probability that at most 3 customers arrive in 10 minutes.
3. Interpret the business meaning of your results.

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题目（中文）：
一家咖啡馆在早高峰时段平均每10分钟有 5名顾客 到达。
假设顾客到达符合 泊松分布，计算：

1. 恰有3名 顾客在10分钟内到达的概率；
2. 至多3名 顾客在10分钟内到达的概率；
3. 根据结果解释商业意义。

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已知条件： 平均速率 $\mu =5$, 时间区间固定（10分钟）。

1️⃣ 恰有3人到达：

$$P(X=3)=\frac{5^3{e}^{-5}}{3!}=\frac{125\times e^{-5}}{6}=0.1404$$

2️⃣ 至多3人到达：

$$P(X\le 3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=e^{-5}\left(1+5+\frac{5^2}{2!}+\frac{5^3}{3!}\right)=0.2650$$

3️⃣ 表格整理：

Case	Formula	Result
$P(X=3)$	$\frac{5^3{e}^{-5}}{3!}$	$0.1404$
$P(X\le 3)$	$e^{-5}{\sum }_{x=0}^3\frac{5^x}{x!}$	$0.2650$

结论：
在10分钟内恰好3名顾客到达的概率为14.0%，
至多3名顾客到达的概率为26.5%。

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思路 / 解析：

• 泊松分布用于计算固定时间内事件发生次数的概率：
  $f(x)=\frac{{\mu }^x{e}^{-\mu }}{x!}$。
• 其中 $\mu =5$ 表示平均每10分钟到达5人。
• 先代入求出单点概率 $P(X=3)$；再通过累加得到 $P(X\le 3)$。
• 解释： 若 café 人流量低于预期（≤3人）的概率为26.5%，
  管理层可据此安排收银员数量或提前准备食材以减少等待时间。

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Q22 — Product Defect Rate in Production（二项分布中的产品次品率）

Question (EN):
A factory produces electronic components with a defect rate of 4%.
If 10 items are selected at random for inspection, find:

1. The probability that exactly one item is defective.
2. The probability that no more than one item is defective.
3. Interpret the business implication for quality control.

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题目（中文）：
一家电子工厂的产品次品率为 4%。
若随机抽检 10件 产品，求：

1. 恰有一件 为次品的概率；
2. 至多一件 为次品的概率；
3. 根据结果解释质量控制的意义。

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已知条件：
$n=10$, $p=0.04$, $q=1-p=0.96$

1️⃣ 恰有一件次品：

$$P(X=1)=\frac{10!}{1!(9)!}(0.04{)}^1(0.96{)}^9=10(0.04)(0.96{)}^9=0.268$$

2️⃣ 至多一件次品：

$$P(X\le 1)=P(0)+P(1)=(0.96{)}^{10}+10(0.04)(0.96{)}^9=0.664+0.268=0.932$$

Event	Formula	Probability
$P(X=1)$	$\frac{10!}{1!(9)!}(0.04{)}^1(0.96{)}^9$	$0.268$
$P(X\le 1)$	$(0.96{)}^{10}+10(0.04)(0.96{)}^9$	$0.932$

结论：
检查的10件中至多1件为次品的概率为93.2%，说明生产质量稳定。

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思路 / 解析：

• 使用二项分布公式：$f(x)=\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}$。
• 分别计算恰好1件与0件次品的概率后相加得累计概率。
• 解释： 高达93%的“≤1件次品”概率表明生产过程质量控制良好。
• 工厂可将此作为合格率的统计验证指标。

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Q23 — Calls at a Customer Service Center（泊松分布中的客服来电量）

Question (EN):
A customer service center receives an average of 12 calls per hour.
Assuming the number of calls follows a Poisson distribution, compute:

1. The probability of receiving exactly 15 calls in one hour.
2. The probability of receiving at most 10 calls in one hour.
3. Provide a managerial interpretation.

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题目（中文）：
某客服中心平均每小时接到 12通电话。
假设来电数量符合 泊松分布，计算：

1. 一小时内恰好15通电话的概率；
2. 一小时内至多10通电话的概率；
3. 给出结果的管理含义。

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已知条件：
平均率 $\mu =12$, 固定时间区间为1小时。

1️⃣ 恰好15通：

$$P(X=15)=\frac{12^{15}{e}^{-12}}{15!}=0.072$$

2️⃣ 至多10通：

$$P(X\le 10)=e^{-12}\sum _{x=0}^{10}\frac{12^x}{x!}=0.236$$

Event	Formula	Probability
$P(X=15)$	$\frac{12^{15}{e}^{-12}}{15!}$	$0.072$
$P(X\le 10)$	$e^{-12}{\sum }_{x=0}^{10}\frac{12^x}{x!}$	$0.236$

结论：
一小时内恰有15通电话的概率为7.2%，
至多10通电话的概率为23.6%。

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思路 / 解析：

• 泊松分布描述单位时间内事件（电话）发生次数：
  $f(x)=\frac{{\mu }^x{e}^{-\mu }}{x!}$。
• 代入平均率 $\mu =12$ 计算单点与累计概率。
• 解释：
  若高峰期电话量超过12通属常态，管理层应安排足够客服以应对。
  $P(X\le 10)=0.236$ 表示在较空闲时段，来电低于平均水平的概率约为24%。

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Q24 — Machine Failure Probability in Two Factories（双工厂机器故障的二项分布概率）

Question (EN):
Two factories, A and B, produce the same type of machine.

• Factory A’s defect rate is 8%, while Factory B’s is 5%.
• Each factory ships 20 machines.
  Find:

1. The probability that exactly 3 machines from Factory A are defective.
2. The probability that at most 2 machines from Factory B are defective.
3. The probability that the total number of defective machines from both factories is no more than 5 (assume independence).

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题目（中文）：
工厂 A 与 B 都生产同型号机器。

• 工厂 A 的次品率为 8%；工厂 B 的次品率为 5%。
• 各自出货 20台机器。
  求：

1. 工厂 A 恰有 3台次品 的概率；
2. 工厂 B 至多2台次品 的概率；
3. 两厂合计次品数 不超过5台 的概率（假设独立）。

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已知条件：
工厂A：$n_A=20$, $p_A=0.08$
工厂B：$n_B=20$, $p_B=0.05$

1️⃣ 工厂A恰有3台次品：

$$P_A(X=3)=\frac{20!}{3!17!}(0.08{)}^3(0.92{)}^{17}=0.191$$

2️⃣ 工厂B至多2台次品：

$$P_B(X\le 2)=\sum _{x=0}^2\frac{20!}{x!(20-x)!}(0.05{)}^x(0.95{)}^{20-x}=0.924$$

3️⃣ 合计次品 ≤ 5：
近似法：使用期望叠加与正态近似。

$$E[X_{total}]=n_A{p}_A+n_B{p}_B=20(0.08+0.05)=2.6$$

近似泊松分布 $\mu =2.6$，则

$$P(X_{total}\le 5)=e^{-2.6}\sum _{x=0}^5\frac{2.6^x}{x!}=0.938$$

Case	Formula	Probability
$P_A(X=3)$	$\frac{20!}{3!17!}(0.08{)}^3(0.92{)}^{17}$	$0.191$
$P_B(X\le 2)$	${\sum }_{x=0}^2\frac{20!}{x!(20-x)!}(0.05{)}^x(0.95{)}^{20-x}$	$0.924$
$P(X_{total}\le 5)$	$e^{-2.6}{\sum }_{x=0}^5\frac{2.6^x}{x!}$	$0.938$

结论：
综合概率表明，两厂合计次品不超过5台的概率为93.8%，整体质量极高。

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思路 / 解析：

• 工厂A与B独立，可分别用二项分布求概率。
• 合并总故障率时，使用期望叠加并近似为泊松分布（μ≈2.6）。
• 解释：
  尽管A次品率略高，但总体次品≤5台的概率仍达93%，
  表明生产体系稳定，适合批量出货。

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Q25 — Network Outages During Peak Hours（高峰时段网络故障的泊松分布概率）

Question (EN):
During peak hours, an internet service provider experiences an average of 4 network outages per hour.
Assuming outages follow a Poisson process, determine:

1. The probability that exactly 6 outages occur in an hour.
2. The probability that more than 6 outages occur in an hour.
3. The probability that no more than 2 outages occur in 30 minutes.
4. Interpret the operational meaning of your results.

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题目（中文）：
在高峰时段，一家网络服务商平均每小时发生 4次网络故障。
假设故障次数服从 泊松过程，求：

1. 一小时内恰有6次 故障的概率；
2. 一小时内超过6次 故障的概率；
3. 30分钟 内至多2次 故障的概率；
4. 结合结果解释运营含义。

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已知条件：
平均速率 ${\mu }_{1h}=4$，半小时内速率 ${\mu }_{0.5h}=2$。

1️⃣ 一小时恰有6次：

$$P(X=6)=\frac{4^6{e}^{-4}}{6!}=0.104$$

2️⃣ 一小时超过6次：

$$P(X>6)=1-\sum _{x=0}^6\frac{4^x{e}^{-4}}{x!}=1-0.889=0.111$$

3️⃣ 半小时内至多2次：

$$P(X\le 2)=e^{-2}\left(\frac{2^0}{0!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}\right)=0.677$$

Event	Formula	Probability
$P(X=6)$	$\frac{4^6{e}^{-4}}{6!}$	$0.104$
$P(X>6)$	$1-{\sum }_{x=0}^6\frac{4^x{e}^{-4}}{x!}$	$0.111$
$P(X_{0.5h}\le 2)$	$e^{-2}{\sum }_{x=0}^2\frac{2^x}{x!}$	$0.677$

结论：
一小时内超过6次中断的概率为11.1%，
半小时内仅2次以下中断的概率为67.7%。

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思路 / 解析：

• 泊松过程具有“时间比例性”：半小时平均次数 ${\mu }_{0.5h}=4\times (0.5)=2$。
• 利用 $f(x)=\frac{{\mu }^x{e}^{-\mu }}{x!}$ 计算单点与累计概率。
• 解释：
  若网络在一小时内发生超过6次故障的概率达11%，
  表示系统已进入拥塞状态；
  而30分钟内仅2次以下中断的67%概率说明短时稳定性较高。
  运营商应在高峰时段增加备份线路以防止服务降级。

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