相关例题

Q1 — Probability under Uniform Distribution（均匀分布下的概率计算）

Question (EN): A machine produces steel rods whose lengths follow a uniform distribution between $18.0$ and $22.0$ cm.
a) Find the probability that a randomly selected rod is shorter than $19.5$ cm.
b) Find the probability that a rod is between $19.5$ and $21.5$ cm.
c) Compute the expected value and variance of rod length.

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
一台机器生产的钢棒长度服从区间 $[18.0,22.0]$ cm 的均匀分布。
a) 求钢棒长度小于 $19.5$ cm 的概率；
b) 求钢棒长度在 $19.5$ 至 $21.5$ cm 之间的概率；
c) 计算钢棒长度的期望值与方差。

📖 点击查看答案

Step 1: Probability Density Function: $f(x)=\frac{1}{b-a}=\frac{1}{22-18}=0.25$

a) $P(X<19.5)=(19.5-18)\times 0.25=0.375$

b) $P(19.5<X<21.5)=(21.5-19.5)\times 0.25=0.5$

c) $E(X)=\frac{a+b}{2}=20$

$\text{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{4^2}{12}=1.333$

Measure	Formula	Result
$E(X)$	$\frac{a+b}{2}$	$20.00$
$\text{Var}(X)$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$	$1.333$

结论： 钢棒平均长度为 20 cm，方差为 1.333，表明长度较为集中。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 均匀分布概率通过区间长度乘以密度函数计算。
• 期望为区间中点，方差随区间宽度平方变化。
• 均匀分布的关键公式：$f(x)=1/(b-a)$，$E(X)=(a+b)/2$，$\text{Var}(X)=(b-a{)}^2/12$。

---

Q2 — Z-Score and Standard Normal Probability（标准正态概率计算）

Question (EN): The weights of apples are normally distributed with mean $\mu =150$ g and standard deviation $\sigma =15$ g.
a) Find the probability that an apple weighs less than 135 g.
b) Find the probability that an apple weighs between 135 g and 165 g.
c) What is the weight corresponding to the 90th percentile?

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
某种苹果重量服从均值 $\mu =150$ g、标准差 $\sigma =15$ g 的正态分布。
a) 求苹果重量小于 $135$ g 的概率；
b) 求苹果重量在 $135$ g 与 $165$ g 之间的概率；
c) 求对应第 $90$ 百分位的苹果重量。

📖 点击查看答案

a) $Z=\frac{135-150}{15}=-1$ → $P(Z<-1)=0.1587$
b) $Z_1=-1,Z_2=1$ → $P(-1<Z<1)=0.6826$
c) $Z_{0.90}=1.2816$ → $X=\mu +Z\sigma =150+1.2816(15)=169.22$

Part	Formula	Result
a	$P(X<135)=P(Z<-1)$	$0.1587$
b	$P(135<X<165)=P(-1<Z<1)$	$0.6826$
c	$X=\mu +Z\sigma$	$169.22$

结论： 约 68% 的苹果重量落在 135–165 g 之间，第 90 百分位重量约为 169.2 g。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 标准化公式：$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$。
• 使用标准正态分布表或软件查 $P(Z)$ 与百分位对应的 $Z_p$。
• 该题考察标准正态分布的区间概率与百分位反求。

---

Q3 — Empirical Rule and Process Control（经验法则与过程控制）

Question (EN): A factory produces bearings with diameters approximately normal: $\mu =10.00$ mm, $\sigma =0.05$ mm.
According to the empirical rule, determine:
a) The range covering 68% of bearings.
b) The range covering 95% of bearings.
c) If only diameters between $9.90$ mm and $10.10$ mm are acceptable, what percentage of products are defective?

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
某工厂生产的轴承直径服从正态分布，均值 $\mu =10.00$ mm，标准差 $\sigma =0.05$ mm。
根据经验法则：
a) 求覆盖 68% 产品的直径范围；
b) 求覆盖 95% 产品的直径范围；
c) 若允许范围为 $[9.90,10.10]$ mm，求不合格产品比例。

📖 点击查看答案

a) 68% → $\mu \pm 1\sigma =[9.95,10.05]$
b) 95% → $\mu \pm 2\sigma =[9.90,10.10]$
c) Acceptable range = $[9.90,10.10]=\mu \pm 2\sigma$
→ Defective proportion = $1-0.9544=0.0456=4.56\%$

Range Type	Formula	Coverage
68%	$\mu \pm 1\sigma$	$[9.95,10.05]$
95%	$\mu \pm 2\sigma$	$[9.90,10.10]$
Defective	$1-0.9544$	$4.56\%$

结论： 在 $9.90–10.10$ mm 之外的产品约占 4.56%，应视为不合格。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 使用经验法则：68–95–99.7 原则。
• 根据标准差范围求区间覆盖率。
• 第三问通过 $1-0.9544$ 求出超出 ±2σ 范围的比例。
• 此题结合正态分布与质量管理（过程控制）思维。

Q4 — Probability and Expected Value in Continuous Distribution（连续分布中的概率与期望）

Question (EN): A random variable $X$ follows a continuous distribution with probability density function
$f(x)=3x^2$ for $0\le x\le 1$, and $f(x)=0$ otherwise.
a) Verify that $f(x)$ is a valid probability density function.
b) Find $P(0.2\le X\le 0.6)$.
c) Compute the expected value $E(X)$ and variance $\text{Var}(X)$.

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
随机变量 $X$ 的概率密度函数为：
$f(x)=3x^2$ （当 $0\le x\le 1$），其余为 $0$。
a) 验证 $f(x)$ 是否为合法的概率密度函数；
b) 求 $P(0.2\le X\le 0.6)$；
c) 计算 $E(X)$ 与 $\text{Var}(X)$。

📖 点击查看答案

Step 1: Validate pdf
${\int }_0^{1}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^1=1$ → valid.

Step 2: Probability
$P(0.2\le X\le 0.6)={\int }_{0.2}^{0.6}3x^{2}dx=[x^3{]}_{0.2}^{0.6}=0.216-0.008=0.208$.

Step 3: Expectation and Variance
$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 3x^{2}dx=3{\int }_0^1{x}^{3}dx=3/4=0.75$.
$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 3x^{2}dx=3{\int }_0^1{x}^{4}dx=3/5=0.6$.
$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=0.6-0.5625=0.0375$.

Measure	Formula	Result
$P(0.2<X<0.6)$	${\int }_{0.2}^{0.6}3x^{2}dx$	$0.208$
$E(X)$	$\int xf(x)dx$	$0.75$
$\text{Var}(X)$	$E(X^2)-[E(X){]}^2$	$0.0375$

结论： $E(X)=0.75$，方差较小，表明大多数取值集中在高区间。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 验证 pdf：积分结果为 1。
• 概率计算：使用积分区间求面积。
• 期望与方差通过连续分布积分公式求得。
  说明 $f(x)$ 向右偏，数据集中在较大值附近。

---

Q5 — Quality Control and Defect Probability（质量控制与不合格率）

Question (EN): A manufacturing process produces screws whose diameters are normally distributed with $\mu =5.00$ mm and $\sigma =0.02$ mm.
Specifications require diameters between $4.96$ mm and $5.04$ mm.
a) What proportion of screws meet the specification?
b) If the process mean shifts to $5.01$ mm, what proportion now meet the specification?
c) Compare and interpret the process capability change.

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
某工厂生产的螺钉直径服从正态分布：$\mu =5.00$ mm，$\sigma =0.02$ mm。
产品要求在 $[4.96,5.04]$ mm 之间。
a) 求符合规格的比例；
b) 若均值偏移至 $5.01$ mm，求此时符合规格的比例；
c) 比较两种情况下的过程能力变化。

📖 点击查看答案

Step 1: $Z$-scores (centered process):
$Z_1=\frac{4.96-5.00}{0.02}=-2$, $Z_2=\frac{5.04-5.00}{0.02}=2$.
$P(-2<Z<2)=0.9544$.

Step 2: Shifted mean $\mu =5.01$:
$Z_1^{\prime }=\frac{4.96-5.01}{0.02}=-2.5$, $Z_2^{\prime }=\frac{5.04-5.01}{0.02}=1.5$.
$P(-2.5<Z<1.5)=0.9332$.

Step 3:
Centered process = 95.44% conforming
Shifted process = 93.32% conforming

Case	Formula	Proportion
Centered	$P(-2<Z<2)$	$0.9544$
Shifted	$P(-2.5<Z<1.5)$	$0.9332$

结论： 均值偏移 0.01 mm 导致合格率下降约 2.12%，说明过程能力显著降低。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 利用标准正态分布计算区间概率。
• 均值偏移会改变 $Z$ 区间，使合格率下降。
• 此题结合质量控制与正态分布的实际应用。

---

Q6 — Investment Simulation Using Uniform Distribution（均匀分布模拟投资收益）

Question (EN): An investor assumes the annual return $R$ of a portfolio is uniformly distributed between $-10\%$ and $+30\%$.
a) Compute the probability that the return exceeds $20\%$.
b) Find the expected annual return and standard deviation.
c) If the investor repeats this investment 5 years independently, find the probability that average return exceeds $15\%$ (use CLT).

📖 点击查看翻译

题目（中文）：
某投资者假设投资组合的年收益率 $R$ 在 $[-10\%,+30\%]$ 区间上均匀分布。
a) 求收益率超过 $20\%$ 的概率；
b) 计算期望收益率与标准差；
c) 若连续独立投资 5 年，求平均收益率超过 $15\%$ 的概率（使用中心极限定理）。

📖 点击查看答案

Step 1: Uniform pdf
$f(x)=\frac{1}{b-a}=\frac{1}{0.3-(-0.1)}=2.5$

a) $P(R>0.2)=(0.3-0.2)\times 2.5=0.25$

b) $E(R)=\frac{a+b}{2}=0.1$,
$\text{Var}(R)=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{0.4^2}{12}=0.0133$,
$\text{SD}=\sqrt{0.0133}=0.1155$.

c) For sample mean ${\bar{R}}_5$:
${\mu }_{\bar{R}}=0.1$, ${\sigma }_{\bar{R}}=\frac{0.1155}{\sqrt{5}}=0.0517$.
$Z=\frac{0.15-0.1}{0.0517}=0.967$ → $P(Z>0.967)=0.166$.

Measure	Formula	Result
$E(R)$	$\frac{a+b}{2}$	$0.10$
$SD$	$\sqrt{(b-a{)}^2/12}$	$0.1155$
$P(R>0.2)$	$(0.3-0.2)\times 2.5$	$0.25$
$P(\bar{R}>0.15)$	$1-P(Z<0.967)$	$0.166$

结论： 平均年收益超 15% 的概率约为 16.6%，表明高收益机会较低但存在。

📝 点击查看解析

思路 / 解析：

• 均匀分布概率通过长度 × 密度求得。
• 使用中心极限定理 (CLT) 将样本均值近似为正态分布。
• 该题结合连续分布与投资风险的实际情景分析。