Lecture 13 — Continuous Probability Distribution（连续概率分布）
1. Overview of Lecture 13（第13讲概览）
Lecture 13 introduces continuous probability distributions and their business applications.
第13讲介绍连续型概率分布及其在商业与经济决策中的应用。
- Random variable（随机变量）
- Continuous probability distribution（连续概率分布）
- Expected value and variance（期望与方差）
- Uniform distribution（均匀分布）
- Normal distribution & z-score（正态分布与 z 分数）
- Excel functions for probability（概率计算的 Excel 函数）
2. Random Variables & Continuous Distributions（随机变量与连续分布）
Random variables describe outcomes numerically; continuous distributions describe probabilities over intervals.
随机变量用数值描述结果；连续分布描述区间上的概率。
- Types: discrete vs continuous（离散 vs 连续）
- PDF area = 1（密度曲线下总面积为 1）
3. Expected Value & Uniform Distribution（期望与均匀分布）
期望值反映长期平均；方差反映离散度与风险。
E(X) = int x * f(x) dx （期望）
用于描述平均收益/中心趋势。
Var(X) = int (x - mu)^2 * f(x) dx （方差）
用于度量波动/风险。
f(x) = 1 / (b - a), a ⇐ x ⇐ b （均匀分布 PDF）
区间内等可能。
E(X) = (a + b) / 2 （均匀分布期望）
区间中点。
Var(X) = (b - a)^2 / 12 （均匀分布方差）
区间长度决定离散度。
4. Normal Distribution（正态分布）
对称钟形，由 mu 与 sigma 决定；68–95–99.7 经验法则适用。
f(x) = 1/(sigmasqrt(2pi)) * exp( - (x - mu)^2 / (2*sigma^2) ) （正态 PDF）
mu 控制中心，sigma 控制分散。
5. Standard Normal Distribution（标准正态分布）
将任意正态变量标准化以便比较与查表，Z ~ N(0,1)。
z = (x - mu) / sigma （标准化公式）
标准化使不同单位/量纲可比较。
6. Probability Calculations（概率计算）
概率对应正态曲线下的面积，常见三类：左尾、右尾、区间。
P(X ⇐ x) = P(Z ⇐ z) （左尾累计）
左侧面积。
P(X >= x) = 1 - P(Z ⇐ z) （右尾概率）
右侧面积。
P(a ⇐ X ⇐ b) = P(Z ⇐ z_b) - P(Z ⇐ z_a) （区间概率）
两端累计之差。
7. Finding z from Probability（根据概率求 z）
根据累计概率反查 z（查表或 Excel）。常见：90%→±1.645，95%→±1.96，99%→±2.576。
NORM.S.INV(p_left) = z （已知左尾概率求 z）
=NORM.S.INV(p_left)
NORM.S.INV(1 - p_upper) = z （已知右尾概率求 z）
=NORM.S.INV(1 - p_upper)
NORM.S.INV(1 - alpha/2) = z(alpha/2) （双尾临界值）
=NORM.S.INV(1 - alpha/2)
8. Standard Normal Probabilities（标准正态概率）
使用标准正态分布计算左尾与右尾概率，区间由差值得到。
NORM.S.DIST(z, TRUE) = P(Z ⇐ z) （左尾概率）
=NORM.S.DIST(z, TRUE)
1 - NORM.S.DIST(z, TRUE) = P(Z >= z) （右尾概率）
=1 - NORM.S.DIST(z, TRUE)
P(a ⇐ Z ⇐ b) = NORM.S.DIST(b, TRUE) - NORM.S.DIST(a, TRUE) （区间概率）
=NORM.S.DIST(b, TRUE) - NORM.S.DIST(a, TRUE)
9. Finding x from Probability（根据概率求 x）
先由概率反查 z，再由 z 反求 x。业务：分位点、质量阈值、绩效门槛。
x = mu + z * sigma （反推原始值）
=NORM.INV(p, mean, stdev) 与上式等价（给定 p）。
10. General Normal with Excel（一般正态的 Excel 计算）
用 NORM.DIST 计算概率，用 NORM.INV 反查数值。
NORM.DIST(x, mean, stdev, TRUE) = P(X ⇐ x) （左尾）
=NORM.DIST(x, mean, stdev, TRUE)
1 - NORM.DIST(x, mean, stdev, TRUE) = P(X >= x) （右尾）
=1 - NORM.DIST(x, mean, stdev, TRUE)
NORM.INV(p, mean, stdev) = x_p （分位数）
=NORM.INV(p, mean, stdev)
11. Finding z values — Given probabilities（补充：已知概率求 z 的步骤）
面试/考试常问“给概率求 z”。通用步骤：
- 判断是左尾、右尾还是双尾区间；
- 统一成左尾概率：右尾用
1 - p_upper，双尾用1 - alpha/2； - 用
NORM.S.INV求 z（区间/双尾分别求上下界）。
P(Z ⇐ z) = p_left → z = NORM.S.INV(p_left) （左尾给定）
P(Z >= z) = p_upper → z = NORM.S.INV(1 - p_upper) （右尾给定）
CI: two-tailed 1 - alpha → z = NORM.S.INV(1 - alpha/2) （双尾置信界）
12. Probabilities: Standard Normal Distribution — Excel Methods（补充：标准正态概率的 Excel 处理）
给定 z，如何快速得到概率（左尾/右尾/区间）？
Left-tail: P(Z ⇐ z) = NORM.S.DIST(z, TRUE) （左尾）
Right-tail: P(Z >= z) = 1 - NORM.S.DIST(z, TRUE) （右尾）
Between: P(a ⇐ Z ⇐ b) = NORM.S.DIST(b, TRUE) - NORM.S.DIST(a, TRUE) （区间）
13. Empirical Rule（经验法则）
经验规则用于快速估计区间概率。
approx 68% in mu ± 1*sigma （一倍标准差）
approx 95% in mu ± 2*sigma （两倍标准差）
approx 99.7% in mu ± 3*sigma （三倍标准差）
14. Business Applications（商业应用）
- 质量控制：按 σ 设定合格区间与报废规则
- 财务预测：超过目标收益的概率
- 绩效评估：Top x% 的奖励门槛
15. Core Insights（核心理解）
- 连续分布描述区间概率，不是单点概率；
- 正态分布把数据—z 分数—概率连接起来；
- Excel 四函数（S.DIST / S.INV / DIST / INV）覆盖概率与阈值双向计算，便于自动化分析。