相关例题

Q1 — Probability in Normal Distribution（正态分布概率计算）

Question (EN): A variable $X$ follows a normal distribution with mean $\mu =500$ and standard deviation $\sigma =100$.
Find the probability that $X$ is between $400$ and $600$:
$P(400\le X\le 600)$.

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题目（中文）：
已知随机变量 $X$ 服从均值 $\mu =500$、标准差 $\sigma =100$ 的正态分布。
求 $X$ 取值在 $400$ 到 $600$ 之间的概率，即：
$P(400\le X\le 600)$。

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标准化：
$z_1=\frac{400-500}{100}=-1$
$z_2=\frac{600-500}{100}=1$

查表：$P(Z\le 1)=0.8413$, $P(Z\le -1)=0.1587$

结果：
$P(400\le X\le 600)=0.8413-0.1587=0.6826$

Variable	Formula	Value
$z_1$	$(400-500)/100$	$-1$
$z_2$	$(600-500)/100$	$1$
$P(400\le X\le 600)$	$P(Z\le 1)-P(Z\le -1)$	$0.6826$

结论： 约有 $68.26\%$ 的数据位于均值两侧一个标准差范围内。

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思路 / 解析：

• 使用标准化公式 $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$。
• 将 $X$ 区间转为 $Z$ 区间。
• 用标准正态表或 Excel 函数 =NORM.S.DIST(z,TRUE) 查得概率。
• 此结果符合经验法则（68% 在 ±1σ 内）。

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Q2 — Finding z for Given Probability（根据给定概率求 z 值）

Question (EN): Find the $z$-score that corresponds to the top $5\%$ of a standard normal distribution.

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题目（中文）：
求出标准正态分布中右尾概率为 $5\%$ 时对应的 $z$ 值。

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因为右尾为 $5\%$，则左尾为 $1-0.05=0.95$。

$z=NORM.S.INV(0.95)$

查表得 $z=1.645$

Probability	Formula	Result
Right-tail	$0.05$	-
Left-tail	$1-0.05=0.95$	-
$z$	$NORM.S.INV(0.95)$	$1.645$

结论： 当右尾为 5% 时，$z=1.645$。

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思路 / 解析：

• 右尾 $5\%$ → 左尾 $95\%$。
• 查标准正态表或使用 Excel 函数 =NORM.S.INV(0.95)。
• 该 z 值常用于 90% 置信区间（双尾各 5%）。

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Q3 — Using Excel to Compute Normal Probabilities（使用 Excel 计算正态分布概率）

Question (EN): A factory produces light bulbs with lifespans normally distributed with mean $=1200$ hours and standard deviation $=100$ hours.
Use Excel functions to find:
a) $P(X\le 1100)$
b) $P(X\ge 1300)$
c) $P(1100\le X\le 1300)$

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题目（中文）：
某工厂生产的灯泡寿命服从均值 $1200$ 小时、标准差 $100$ 小时的正态分布。
使用 Excel 函数求：
a) $P(X\le 1100)$
b) $P(X\ge 1300)$
c) $P(1100\le X\le 1300)$

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使用 Excel 函数 =NORM.DIST(x, mean, stdev, TRUE)：

a) $P(X\le 1100)=NORM.DIST(1100,1200,100,TRUE)=0.1587$
b) $P(X\ge 1300)=1-NORM.DIST(1300,1200,100,TRUE)=1-0.8413=0.1587$
c) $P(1100\le X\le 1300)=0.8413-0.1587=0.6826$

Event	Excel Formula	Probability
$P(X\le 1100)$	=NORM.DIST(1100,1200,100,TRUE)	$0.1587$
$P(X\ge 1300)$	=1 - NORM.DIST(1300,1200,100,TRUE)	$0.1587$
$P(1100\le X\le 1300)$	difference of above	$0.6826$

结论： 约 $68.26\%$ 的灯泡寿命介于 1100–1300 小时之间。

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思路 / 解析：

• 使用 Excel 中的 NORM.DIST 计算累积概率。
• 对称性使得左尾与右尾概率相等（均为 15.87%）。
• 区间概率由两侧累积概率之差得出。

Q4 — Finding X Value from Given Probability（根据给定概率求原始值 X）

Question (EN): The average daily sales of an online store follow a normal distribution with mean $\mu =200$ and standard deviation $\sigma =40$.
Find the sales amount $x$ such that only 10% of days exceed this value.

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题目（中文）：
某电商每日销售额服从均值 $\mu =200$、标准差 $\sigma =40$ 的正态分布。
求使得仅有 10% 的日期销售额超过该值的 $x$。

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右尾概率 $=0.10$，左尾概率 $=0.90$。

$z=NORM.S.INV(0.90)=1.2816$

$x=\mu +z\sigma =200+1.2816(40)=251.26$

Step	Formula	Result
Left-tail	$1-0.10=0.90$
$z$	$NORM.S.INV(0.90)$	$1.2816$
$x$	$200+1.2816\times 40$	$251.26$

结论： 当销售额为 $251.26 时，仅有 10% 的日期超过该值。

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思路 / 解析：

• 右尾 10% 转为左尾 90%。
• 查表或 Excel =NORM.S.INV(0.90) 得 z 值。
• 代入 $x=\mu +z\sigma$ 求出原始销售额阈值。
• 实际意义：该值代表日销售额的第 90 百分位。

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Q5 — Two-Tailed Interval from Confidence Level（根据置信水平求双尾区间）

Question (EN): In a standard normal distribution, determine the $z$ values that bound the middle 95% of the data.
That is, find $z_1$ and $z_2$ such that $P(z_1\le Z\le z_2)=0.95$.

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题目（中文）：
在标准正态分布中，求出能包含 95% 数据的双侧 $z$ 值，即 $P(z_1\le Z\le z_2)=0.95$。

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由于中间为 95%，双尾各占 $2.5\%$。

$z_1=NORM.S.INV(0.025)=-1.96$
$z_2=NORM.S.INV(0.975)=1.96$

Tail	Formula	$z$ Value
Left 2.5%	$NORM.S.INV(0.025)$	$-1.96$
Right 2.5%	$NORM.S.INV(0.975)$	$1.96$

结论： $Z$ 在区间 $[-1.96,1.96]$ 内时覆盖约 $95\%$ 的样本。

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思路 / 解析：

• 置信水平 $95\%\Rightarrow \alpha =0.05$。
• 双尾各 $\alpha /2=0.025$。
• 查表或 Excel =NORM.S.INV(0.025) 与 =NORM.S.INV(0.975)。
• 该区间即为 95% 置信界限常用的 z 值范围。

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Q6 — Comparing Two Firms’ Quality Control Scores（比较两家公司质量得分）

Question (EN): Company A’s defect rate follows a normal distribution with $\mu =3.0\%$ and $\sigma =0.5\%$.
Company B’s defect rate has $\mu =2.5\%$ and $\sigma =0.3\%$.
For a random sample with observed defect rates of $3.8\%$ (A) and $3.1\%$ (B),
compare the z-scores and determine which company performs worse relative to its distribution.

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题目（中文）：
公司 A 的次品率服从均值 $\mu =3.0\%$、标准差 $\sigma =0.5\%$；
公司 B 的次品率服从均值 $\mu =2.5\%$、标准差 $\sigma =0.3\%$。
若抽样观察到的次品率分别为 A: $3.8\%$，B: $3.1\%$，
比较两者的 Z 分数，判断哪家公司表现相对更差。

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计算标准化分数：

$z_A=\frac{3.8-3.0}{0.5}=1.6$
$z_B=\frac{3.1-2.5}{0.3}=2.0$

Company	Formula	$z$-score
A	$(3.8-3.0)/0.5$	$1.6$
B	$(3.1-2.5)/0.3$	$2.0$

结论： 公司 B 的 $z=2.0$ 更高，说明其相对偏离均值更远、表现更差。

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思路 / 解析：

• 使用标准化公式 $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$。
• 比较两家公司偏离各自平均水平的程度。
• 较高的 z 表示偏离更大，因此 B 的质量波动相对更严重。
• 说明：z-score 用于不同分布下的相对比较，非常常见于质量控制。