·抽样与抽样分布思维导图

Lecture 14 — Sampling and Sampling Distributions（第14讲——抽样与抽样分布）

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1. Sampling Concepts（抽样基本概念）

Sampling（抽样）

• Selecting a subset of a population to estimate population characteristics.
• 从总体中选取样本以估计总体特征。

Sampling Distribution（抽样分布）

• Describes variation of a sample statistic (e.g., $\bar{x}$, $\hat{p}$) across samples.
• 描述样本统计量（如 $\bar{x}$、$\hat{p}$）在不同样本间的变化。

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2. Finite and Infinite Populations（有限与无限总体）

Finite Population（有限总体）

• A population with a fixed number of elements (e.g., 900 applicants).
• 由固定数量成员构成的总体（如900名申请者）。

Infinite Population（无限总体）

• A process generating endless observations (e.g., incoming calls).
• 持续产生观测数据的过程（如呼叫中心来电）。

Random Sampling（随机抽样）

• Each element has an equal chance of selection; ensures unbiasedness.
• 每个个体被选中的概率相同，确保样本无偏。

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3. Point Estimation（点估计）

Definition（定义）

• A single value from a sample used to estimate a population parameter.
• 用样本值来估计总体参数的单一数值。

Statistic vs Parameter（统计量与参数）

• $\bar{x}$ estimates $\mu$; $\hat{p}$ estimates $p$.
• 样本均值估计总体均值，样本比例估计总体比例。

Unbiasedness & Efficiency（无偏与有效性）

• Expected value equals true parameter; smallest variance preferred.
• 期望值等于总体真值，方差最小时估计更优。

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4. Standard Error and Sampling Distribution of $\bar{x}$（样本均值的标准误差与分布）

Definition of Standard Error（标准误差定义）

• ${\sigma }_{\bar{x}}$ = standard deviation of the sampling distribution of $\bar{x}$.
• 样本均值抽样分布的标准差。

Formula（公式）

• Infinite population: ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
• Finite population: ${\sigma }_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Interpretation（解释）

• Smaller ${\sigma }_{\bar{x}}$ means less variability and higher precision.
• 标准误差越小，变异越低，估计越精确。

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5. Finite Population Correction Factor（有限总体修正系数）

Definition（定义）

• Adjusts ${\sigma }_{\bar{x}}$ when sampling without replacement.
• 当无放回抽样时，用以修正标准误差。

Formula（公式）

• $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ = finite population correction (FPC).
• 有限总体修正系数公式。

Application（应用）

• Apply when $n/N>0.05$.
• 当抽样比例大于5%时应使用。

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6. Central Limit Theorem (CLT)（中心极限定理）

Concept（概念）

• As $n$ increases, the sampling distribution of $\bar{x}$ approximates normal.
• 随样本量增大，样本均值分布趋近正态。

Rules（规则）

• If population is normal → $\bar{x}$ is normal for any $n$.
• 若总体正态，则任意样本量均成立。
• If non-normal → $\bar{x}$ ≈ normal when $n\ge 30$.
• 若总体非正态，$n\ge 30$ 时近似正态。
• If highly skewed → $n\ge 50$.
• 若高度偏态，样本量需至少50。

Importance（重要性）

• Foundation for inference, estimation, and hypothesis testing.
• 是统计推断与假设检验的理论基础。

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7. Example: St Andrew’s College (SAT Distribution)（案例：圣安德鲁学院 SAT 分布）

Scenario（情境）

• $\mu =1090$, $\sigma =80$, $n=30$.
• 样本均值 $E(\bar{x})=1090$, 标准误差 ${\sigma }_{\bar{x}}=14.6$。

Objective（目标）

• Find $P(|\bar{x}-\mu |\le 10)$.
• 求样本均值距总体均值±10的概率。

Calculation（计算）

• $z=10/14.6=0.685$
• $P(-0.685<z<0.685)=0.7533-0.2467=0.5066$

Interpretation（解释）

• Probability ≈ 0.5066 → about 50.7% of samples fall within ±10 of $\mu$.
• 约50.7%的样本均值落在总体均值±10范围内。

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8. Effect of Sample Size（样本量的影响）

Comparison ($n=30$ vs. $n=100$)（样本量比较）

• $n=30$: ${\sigma }_{\bar{x}}=14.6$ → $P=0.5066$
• $n=100$: ${\sigma }_{\bar{x}}=8$ → $P=0.7887$

Interpretation（解释）

• Larger $n$ → smaller ${\sigma }_{\bar{x}}$ → higher probability $\bar{x}$ near $\mu$.
• 样本量增大 → 标准误差减小 → 样本均值更接近总体均值。

Visual Insight（图形理解）

• Narrower curve for $n=100$ indicates less variability.
• 样本量100的分布曲线更窄，表示变异性更低。

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9. Relationship Between Sample Size and Sampling Distribution（样本量与抽样分布的关系）

Key Relationship（核心关系）

• Larger samples reduce standard error and variability of $\bar{x}$.
• 较大样本降低标准误差与样本均值的变异性。

Mathematical Summary（数学总结）

• ${\sigma }_{\bar{x}}\propto \frac{1}{\sqrt{n}}$
• 样本均值的标准误差与样本量平方根成反比。

Practical Implication（实践意义）

• Balance accuracy and cost when determining $n$.
• 研究中应权衡精度与成本，合理确定样本量。

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10. Key Takeaways（核心要点总结）

1️⃣ Sampling Distribution of $\bar{x}$（样本均值分布）

• Describes variability among sample means.
• 反映样本均值的波动规律。

2️⃣ Standard Error（标准误差）

• ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ or adjusted with FPC.
• 可通过有限总体修正进行调整。

3️⃣ Central Limit Theorem（中心极限定理）

• Ensures $\bar{x}$ approximates normal for large $n$.
• 保证大样本下样本均值近似正态。

4️⃣ Sample Size Effect（样本量效应）

• Increasing $n$ reduces variability and increases reliability.
• 样本量越大，结果越稳定、置信度越高。