相关例题

Q1 — CLT and Probability for Sample Mean（中心极限定理与样本均值概率）

Question (EN): A logistics company records the daily shipping cost per truck. For a very long period, the population mean cost is known to be $\mu =520$ dollars with population standard deviation $\sigma =80$ dollars. Assume the daily costs are not exactly normal but moderately skewed.

A manager takes a simple random sample of $n=64$ days.

• (a) Find the mean and standard error of the sampling distribution of $\bar{x}$.
• (b) Use the Central Limit Theorem to approximate $P(500\le \bar{x}\le 540)$.
• (c) Explain, in words, why it is reasonable to use the normal approximation here.

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题目（中文）：
某物流公司长期记录每辆卡车的单日运输成本。已知在很长时间内，总体平均成本为 $\mu =520$ 美元，总体标准差为 $\sigma =80$ 美元。假设单日成本分布并非完全正态，而是有适度偏态。
现随机抽取 $n=64$ 天的成本数据作为简单随机样本。

• (a) 求样本均值 $\bar{x}$ 抽样分布的均值和标准误差。
• (b) 利用中心极限定理近似计算 $P(500\le \bar{x}\le 540)$。
• (c) 用文字解释：为什么在本例中使用正态近似是合理的？

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(a)
抽样分布的均值：

$$E(\bar{x})=\mu =520$$

标准误差：

$${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{80}{\sqrt{64}}=\frac{80}{8}=10$$

(b)
我们要计算：

$$P(500\le \bar{x}\le 540)$$

标准化：

$$z_1=\frac{500-520}{10}=-2,z_2=\frac{540-520}{10}=2$$ $$P(500\le \bar{x}\le 540)\approx P(-2\le z\le 2)$$

由标准正态表：

$$P(-2\le z\le 2)\approx 0.9545$$

(c)
虽然单日成本分布略有偏态，但样本量 $n=64$ 足够大，根据中心极限定理，$\bar{x}$ 的抽样分布会接近正态，因此可以使用正态近似来计算概率。

Quantity	Formula	Value
$E(\bar{x})$	$\mu$	$520$
${\sigma }_{\bar{x}}$	$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	$10$
$z_1$	$\frac{500-520}{10}$	$-2$
$z_2$	$\frac{540-520}{10}$	$2$
$P(500\le \bar{x}\le 540)$	$P(-2\le z\le 2)$	$\approx 0.9545$

结论： 在样本量较大的情况下，样本均值的抽样分布近似正态，本例中约有 $95.45\%$ 的样本均值会落在 $500$ 到 $540$ 之间。

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思路 / 解析：

• 第一步：识别本题考察的是样本均值的抽样分布与中心极限定理（CLT），已知 $\mu$ 与 $\sigma$。
• 第二步：根据公式 ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 计算标准误差，用于后续标准化。
• 第三步：将区间端点转换为 $z$ 值：$z=\frac{\bar{x}-\mu }{{\sigma }_{\bar{x}}}$，再用标准正态分布查表或计算。
• 第四步：从 CLT 角度解释：虽然总体不完全正态，但 $n=64$ 较大，故 $\bar{x}$ 近似服从正态分布，可以安全使用正态近似。

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Q2 — Finite Population Correction in Employee Survey（员工调查中的有限总体修正）

Question (EN): A company has a finite population of $N=400$ employees. The monthly overtime hours (in hours) in this population have a known standard deviation of $\sigma =12$ hours.

A HR analyst selects a simple random sample:

• Case A: $n=20$ employees
• Case B: $n=80$ employees

For each case:

• (a) Compute the standard error of $\bar{x}$ ignoring the finite population correction (FPC).
• (b) Compute the standard error of $\bar{x}$ with the FPC, using
  ${\sigma }_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.
• (c) Comment on when the FPC is important and when it can be ignored.

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题目（中文）：
某公司共有 $N=400$ 名员工（有限总体）。已知该总体中，员工每月加班时数的标准差为 $\sigma =12$ 小时。
人力资源部门进行简单随机抽样：

• 情形 A：$n=20$ 名员工；
• 情形 B：$n=80$ 名员工。
  对每种情形：
• (a) 在**忽略有限总体修正系数（FPC）**的情况下，计算样本均值 $\bar{x}$ 的标准误差。
• (b) 在考虑有限总体修正系数的情况下，用
  ${\sigma }_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
  计算样本均值的标准误差。
• (c) 说明在什么情况下 FPC 很重要，什么时候可以忽略。

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(a) 忽略 FPC 的标准误差：

通用公式：

$${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

情形 A（$n=20$）：

$${\sigma }_{\bar{x},A}=\frac{12}{\sqrt{20}}\approx 2.683$$

情形 B（$n=80$）：

$${\sigma }_{\bar{x},B}=\frac{12}{\sqrt{80}}\approx 1.342$$

(b) 考虑 FPC 的标准误差：

FPC 公式：

$${\sigma }_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

• 情形 A：$N=400,n=20$

  $${\text{FPC}}_A=\sqrt{\frac{400-20}{400-1}}=\sqrt{\frac{380}{399}}\approx 0.974$$ $${\sigma }_{\bar{x},A}^{(\text{FPC})}=0.974\times 2.683\approx 2.615$$

• 情形 B：$N=400,n=80$

  $${\text{FPC}}_B=\sqrt{\frac{400-80}{400-1}}=\sqrt{\frac{320}{399}}\approx 0.896$$ $${\sigma }_{\bar{x},B}^{(\text{FPC})}=0.896\times 1.342\approx 1.203$$

Case	$n$	Ignore FPC ${\sigma }_{\bar{x}}$	With FPC ${\sigma }_{\bar{x}}$	FPC Value
A	$20$	$\approx 2.683$	$\approx 2.615$	$\approx 0.974$
B	$80$	$\approx 1.342$	$\approx 1.203$	$\approx 0.896$

(c) 结论与评论：

• 情形 A 中，$n/N=20/400=0.05$，FPC 略有影响，但不算特别大。
• 情形 B 中，$n/N=80/400=0.20$，抽样比例更大，FPC 明显减小了标准误差。
• 一般当 $n/N\le 0.05$ 时，FPC 影响很小，可以忽略；当 $n/N$ 较大时，应考虑 FPC。

结论： 在有限总体且抽样比例较大时，必须使用 FPC 来获得更准确的标准误差；抽样比例较小时，可以近似视为无限总体而忽略 FPC。

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思路 / 解析：

• 本题考察有限总体修正系数（FPC）的应用以及何时需要修正。
• 第一步：先按无限总体公式 ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 计算基准标准误差。
• 第二步：再用 FPC 公式 $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ 对标准误差进行修正，可观察修正前后的差异。
• 第三步：通过比较 $n/N$ 的大小来判断 FPC 的重要性：抽样比例越大，FPC 越重要。
• 核心理解：有限总体无放回抽样会降低样本之间的独立性，从而降低变异性，因此标准误差需要乘以 FPC 进行调整。

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Q3 — Comparing Precision at Different Sample Sizes（不同样本量下估计精度比较）

Question (EN): The daily sales (in units) for a popular product have population mean $\mu =300$ and population standard deviation $\sigma =50$. Assume the population is very large and can be treated as infinite.

Two analysts independently estimate the mean daily sales:

• Analyst A uses a simple random sample of $n_A=25$ days.
• Analyst B uses a simple random sample of $n_B=100$ days.

For each analyst:

• (a) Compute the standard error of $\bar{x}$.
• (b) Approximate $P(|\bar{x}-\mu |\le 10)$ using the normal distribution.
• (c) Comment on which estimate is more precise and why.

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题目（中文）：
某热门产品的每日销量（单位：件）总体均值为 $\mu =300$，总体标准差为 $\sigma =50$。假设总体很大，可视为无限总体。
两位分析师分别估计平均每日销量：

• 分析师 A：使用 $n_A=25$ 天的简单随机样本；
• 分析师 B：使用 $n_B=100$ 天的简单随机样本。
  对每位分析师：
• (a) 计算样本均值 $\bar{x}$ 的标准误差；
• (b) 用正态近似计算 $P(|\bar{x}-\mu |\le 10)$；
• (c) 比较哪个估计更精确，并说明原因。

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(a) 标准误差：

通用公式（无限总体）：

$${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

• 分析师 A（$n_A=25$）： $${\sigma }_{\bar{x},A}=\frac{50}{\sqrt{25}}=\frac{50}{5}=10$$
• 分析师 B（$n_B=100$）： $${\sigma }_{\bar{x},B}=\frac{50}{\sqrt{100}}=\frac{50}{10}=5$$

(b) 计算 $P(|\bar{x}-\mu |\le 10)$：

我们要求：

$$P(|\bar{x}-300|\le 10)=P(290\le \bar{x}\le 310)$$

• 分析师 A：

  $${\sigma }_{\bar{x},A}=10,z_1=\frac{290-300}{10}=-1,z_2=\frac{310-300}{10}=1$$ $$P(290\le \bar{x}\le 310)\approx P(-1\le z\le 1)\approx 0.6826$$

• 分析师 B：

  $${\sigma }_{\bar{x},B}=5,z_1=\frac{290-300}{5}=-2,z_2=\frac{310-300}{5}=2$$ $$P(290\le \bar{x}\le 310)\approx P(-2\le z\le 2)\approx 0.9545$$

| Analyst | $n$ | ${\sigma }_{\bar{x}}$ | $P(|\bar{x}-\mu |\le 10)$ | |:—:|:—:|:—:|:—:| | A | $25$ | $10$ | $\approx 0.6826$ | | B | $100$ | $5$ | $\approx 0.9545$ |

(c) 评论：

• 分析师 B 的标准误差更小（$5<10$），说明其样本均值波动更小。
• 对于 $\pm 10$ 的误差范围，分析师 B 的样本均值更可能落在该区间内（$95.45\%$ 对比 $68.26\%$）。
• 因此，分析师 B 的估计更加精确。

结论： 增大样本量可以显著降低 ${\sigma }_{\bar{x}}$，提升样本均值对总体均值的估计精度。

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思路 / 解析：

• 本题核心是比较不同样本量下的标准误差与估计精度，并用概率进行量化。
• 先用 ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 计算两种样本量对应的标准误差，观察大小差异。
• 再将区间 $[290,310]$ 转换为 $z$ 区间，用标准正态分布求概率。
• 看概率谁更大，就说明哪一个样本均值更有可能接近总体均值。
• 这体现了：样本量越大 → 标准误差越小 → 抽样分布越集中 → 估计越精确。

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Q4 — Sampling Distribution of Sample Proportion（样本比例的抽样分布）

Question (EN): In a large online store, the long-run proportion of orders with express shipping is $p=0.40$. A data analyst takes a simple random sample of $n=200$ orders.

• (a) Compute the mean and standard error of the sampling distribution of $\hat{p}$.
• (b) Use the normal approximation to estimate $P(0.35\le \hat{p}\le 0.45)$.
• (c) Explain the conditions under which the normal approximation for $\hat{p}$ is valid.

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题目（中文）：
在某大型网店中，长期来看，选择加急配送的订单比例为 $p=0.40$。数据分析员随机抽取 $n=200$ 笔订单作为简单随机样本。

• (a) 计算样本比例 $\hat{p}$ 抽样分布的均值和标准误差；
• (b) 使用正态近似估计 $P(0.35\le \hat{p}\le 0.45)$；
• (c) 说明在什么条件下，对 $\hat{p}$ 使用正态近似是合理的。

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(a) 对样本比例 $\hat{p}$，抽样分布的性质为：

$$E(\hat{p})=p=0.40$$ $${\sigma }_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{200}}=\sqrt{\frac{0.24}{200}}=\sqrt{0.0012}\approx 0.0346$$

(b) 计算 $P(0.35\le \hat{p}\le 0.45)$：

$$z_1=\frac{0.35-0.40}{0.0346}\approx -1.44,z_2=\frac{0.45-0.40}{0.0346}\approx 1.44$$ $$P(0.35\le \hat{p}\le 0.45)\approx P(-1.44\le z\le 1.44)$$

由标准正态表：

$$P(-1.44\le z\le 1.44)\approx 0.851$$

Measure	Formula	Result
$E(\hat{p})$	$p$	$0.40$
${\sigma }_{\hat{p}}$	$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$	$\approx 0.0346$
$z_1$	$\frac{0.35-0.40}{0.0346}$	$\approx -1.44$
$z_2$	$\frac{0.45-0.40}{0.0346}$	$\approx 1.44$
$P(0.35\le \hat{p}\le 0.45)$	$P(-1.44\le z\le 1.44)$	$\approx 0.851$

(c) 正态近似对样本比例有效的条件通常是：

• $np\ge 10$ 且 $n(1-p)\ge 10$。
  在本例中：

$$np=200\times 0.4=80\ge 10,n(1-p)=200\times 0.6=120\ge 10$$

条件明显满足，因此使用正态近似是合理的。

结论： 样本比例的抽样分布近似正态，约有 $85.1\%$ 的样本比例会落在 $[0.35,0.45]$ 之间。

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思路 / 解析：

• 本题考察样本比例 $\hat{p}$ 的抽样分布与正态近似条件。
• 第一步：用 ${\sigma }_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 计算标准误差，并给出 $E(\hat{p})=p$ 的无偏性结论。
• 第二步：将 $\hat{p}$ 区间转换为 $z$ 区间，通过标准正态分布求概率。
• 第三步：检查 $np$ 与 $n(1-p)$ 是否都大于或等于 10，以判断是否可以使用正态近似。
• 这一题同时体现了无偏估计量（$E(\hat{p})=p$）与样本量对近似精度的影响。

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Q5 — Designing Sample Size for Target Precision（根据精度目标设计样本量）

Question (EN): A university wants to estimate the mean weekly study time (in hours) of its business students. From past data, the population standard deviation is approximately $\sigma =30$ hours.

The dean wants the sample mean $\bar{x}$ to be within $\pm 5$ hours of the true mean $\mu$ with $95\%$ confidence, assuming the sampling distribution of $\bar{x}$ is approximately normal.

• (a) Find the minimum required sample size $n$ to meet this precision requirement (use $z_{0.025}\approx 1.96$).
• (b) Explain the relationship between sample size, standard error, and confidence interval width.
• (c) Briefly comment on why $\bar{x}$ is an unbiased but not “perfect” estimator of $\mu$.

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题目（中文）：
某大学希望估计商学院学生每周学习时间（单位：小时）的总体均值。根据历史数据，已知总体标准差约为 $\sigma =30$ 小时。
院长希望在 $95\%$ 置信水平下，使样本均值 $\bar{x}$ 与真实均值 $\mu$ 的误差不超过 $\pm 5$ 小时（假设 $\bar{x}$ 的抽样分布近似正态）。

• (a) 计算满足上述精度要求所需的最小样本量 $n$（取 $z_{0.025}\approx 1.96$）；
• (b) 解释样本量、标准误差与置信区间宽度之间的关系；
• (c) 简要说明为什么 $\bar{x}$ 虽然是 $\mu$ 的无偏估计量，但仍不是“完美”的估计。

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(a) 目标是：

$$P(|\bar{x}-\mu |\le 5)\approx 0.95$$

对正态置信区间，有：

$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\cdot {\sigma }_{\bar{x}}$$

其中 ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$，误差界（半宽度）为：

$$E=z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

要求 $E=5$，代入 $z_{\alpha /2}=1.96,\sigma =30$：

$$5=1.96\cdot \frac{30}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n}=\frac{1.96\cdot 30}{5}=1.96\cdot 6=11.76$$ $$n=(11.76{)}^2\approx 138.30$$

因样本量必须为整数且要“向上取整”，

$$n_{\min }=139$$

(b) 样本量、标准误差与置信区间宽度的关系：

• 标准误差：${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$，样本量 $n$ 越大，${\sigma }_{\bar{x}}$ 越小；
• 置信区间半宽度：$E=z_{\alpha /2}\cdot {\sigma }_{\bar{x}}$，当 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 减小时，区间变窄；
• 因此，增大 $n$ 可以减小标准误差，从而缩短置信区间宽度，提高估计精度。

(c) 关于无偏但不“完美”：

• 无偏性：$E(\bar{x})=\mu$，说明在重复抽样的长期平均中，$\bar{x}$ 不会系统性高估或低估 $\mu$；
• 但每一次具体样本仍受随机变异影响，可能偏离 $\mu$，且方差 ${\sigma }_{\bar{x}}^2$ 不为零；
• 因此，$\bar{x}$ 是无偏但有变异的估计量，只能在概率意义上“逼近”真实均值。

结论： 至少需要 $n=139$ 个样本才能在 $95\%$ 置信水平下，把误差控制在 $\pm 5$ 小时以内；增大样本量可以缩小置信区间，但无法消除所有随机误差。

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思路 / 解析：

• 本题综合考察：标准误差、置信区间、样本量设计、无偏估计量。
• 第一步：写出误差界公式 $E=z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$，将 $E$、$z_{\alpha /2}$、$\sigma$ 代入求解 $n$。
• 第二步：通过 ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 解释为什么样本量越大，区间越窄，估计越精确。
• 第三步：讨论无偏性的含义——$\bar{x}$ 的长期平均等于 $\mu$，但单次样本仍会随机偏离，因此需要用标准误差和置信区间来刻画这种不确定性。
• 本题很好地将“点估计 + 抽样分布 + 标准误差 + 置信区间 + 无偏性”综合在一起。