相关例题

📘 Lecture — Advanced Confidence Interval Applications（高级置信区间应用）

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Q1 — CI for Mean with Sample Size Planning（均值置信区间与样本量规划）

Question (EN): A company wants to estimate the average delivery time of its same-day shipping service. A pilot study with $n=20$ gives:

• Sample mean: $\bar{x}=85$ minutes
• Sample standard deviation: $s=18$ minutes

Management requires:

1. Construct a 95% confidence interval for the mean delivery time.
2. Determine the minimum sample size needed to achieve a margin of error ≤ 3 minutes using the same variability level.

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题目（中文）： 一家公司想估计“当日送达”服务的平均送货时间。 预研样本（$n=20$）得到：

• 样本均值：$\bar{x}=85$ 分钟
• 样本标准差：$s=18$ 分钟

要求：

1. 构造平均送货时间的 95% 置信区间。
2. 若要控制误差不超过 3 分钟，在相同波动水平下，所需的最小样本量是多少？

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Step 1 — 95% CI for mean (σ unknown → t-distribution)

$$t_{0.025,19}=2.093$$ $$\text{CI}=\bar{x}\pm t\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}=85\pm 2.093\cdot \frac{18}{\sqrt{20}}$$ $$\frac{18}{\sqrt{20}}=4.02$$ $$\text{CI}=85\pm 8.42=(76.58,93.42)$$

Step 2 — Sample size for ME ≤ 3 Since $\sigma$ is unknown, approximate with $z=1.96$:

$$n={\left(\frac{z\cdot s}{E}\right)}^2={\left(\frac{1.96\cdot 18}{3}\right)}^2=(11.76{)}^2=138.3$$ $$n=139\text{ (round up)}$$

Item	Formula	Result
CI	$\bar{x}\pm t\frac{s}{\sqrt{n}}$	$(76.58,93.42)$
Sample Size	${\left(\frac{zs}{E}\right)}^2$	$139$

结论： 95% 置信区间为 76.58–93.42 分钟；若要误差 ≤3 分钟，需要至少 139 个样本。

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解析思路：

• 均值 + $\sigma$ 未知 → 用 $t$ 分布构造置信区间。
• 核心影响因素：$s$ 越大，区间越宽。
• 样本量规划使用 $n=(\frac{zs}{E}{)}^2$，误差越小，需要的样本量越大。

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Q2 — Two-Sided CI for Proportion & Decision Making（比例区间与业务决策）

Question (EN): A marketing team tests whether at least 70% of customers are satisfied with a new mobile app. A sample of $n=400$ reveals:

• Number of satisfied customers: $284$
• Sample proportion: $\hat{p}=0.71$

Construct a 95% confidence interval for the population proportion and determine: Can the team claim that at least 70% of customers are satisfied?

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题目（中文）： 市场部门想判断是否有 至少 70% 的客户对新移动应用满意。 样本 $n=400$：

• 满意人数：284
• 样本比例：$\hat{p}=0.71$

要求：

1. 构造总体比例的 95% 置信区间。
2. 判断能否称：至少 70% 的客户满意。

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Step 1 — 95% CI for p

$$\hat{p}=0.71,z=1.96$$ $$ME=z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=1.96\sqrt{\frac{0.71\cdot 0.29}{400}}$$ $$ME=1.96\sqrt{0.00051475}=1.96(0.02269)=0.0445$$ $$\text{CI}=0.71\pm 0.0445=(0.6655,0.7545)$$

Step 2 — Can we claim ≥ 70%? Lower bound $=0.6655<0.70$ → 不成立 区间未完全高于 0.70，因此不能统计上支持该主张。

Item	Formula	Value
$CI$	$\hat{p}\pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	$(0.6655,0.7545)$
Decision	Compare lower bound	Cannot claim ≥ 70%

结论： 虽然样本比例为 $0.71$，但 95% 区间下界 低于 0.70；无法统计上支持“至少 70% 满意”。

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解析思路：

• 比例区间使用常见的 $\hat{p}\pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
• 关键判断逻辑：若 CI 下界 ≥ 要求阈值，即可宣称达到目标。
• 此案例中下界 0.6655 < 0.70 → 不满足。

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Q3 — CI Comparison Across Two Groups（比较两组置信区间）

Question (EN): A retailer compares average weekly spending between two customer groups:

Group	n	Mean ($)	Std. Dev.
A	50	240	60
B	60	210	55

Construct the 95% confidence interval for each group and determine: Is there statistical evidence that Group A spends more than Group B?

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题目（中文）： 一家零售商比较两类顾客的每周平均支出：

组别	样本量	均值	标准差
A	50	240	60
B	60	210	55

要求：

1. 分别构造两组的 95% 均值置信区间；
2. 判断是否有证据表明 A 组支出高于 B 组。

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Group A CI

$$M{E}_A=1.96\cdot \frac{60}{\sqrt{50}}=16.63$$ $$C{I}_A=(240-16.63,240+16.63)=(223.37,256.63)$$

Group B CI

$$M{E}_B=1.96\cdot \frac{55}{\sqrt{60}}=13.91$$ $$C{I}_B=(210-13.91,210+13.91)=(196.09,223.91)$$

Comparison

• A 的下界 = 223.37
• B 的上界 = 223.91 两区间几乎接触但不明显重叠 → 证据较弱但倾向支持 A > B。

Group	CI (95%)
A	$(223.37,256.63)$
B	$(196.09,223.91)$

结论： 置信区间边界几乎相接，但不显著分离 → 有弱证据表明 A 组支出高于 B 组。

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解析逻辑：

• 两组均值区间若完全不重叠 → 强证据差异。
• 若部分重叠 → 无证据。
• 本题极限情况：区间边界相接但未交叉 → 提供弱证据支持 A > B。

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