·Lecture 15 — Interval Estimation (第15讲——区间估计)思维导图

Lecture 15 — Interval Estimation (第15讲——区间估计)

---

1. Core Concepts (核心概念)

What is Interval Estimation?（什么是区间估计）

• Provides a range for a population parameter.
• 为总体参数提供一个区间范围。

Why Interval Estimation?（为什么需要区间估计）

• Point estimates ignore sampling variability.
• 点估计无法反映抽样波动。
• Intervals quantify uncertainty.
• 区间能量化不确定性。

Confidence Interval Structure（置信区间结构）

• Point estimate ± margin of error
• 点估计 ± 误差范围

---

2. Point Estimate vs Interval Estimate (点估计 vs 区间估计)

Point Estimate (点估计)

• Single best guess of parameter.
• 对总体参数的单个最佳估计。
• No uncertainty measure.
• 不提供不确定性。

Interval Estimate (区间估计)

• Provides a range likely to contain μ.
• 提供一个可能包含 μ 的区间。
• Includes confidence level.
• 包含置信水平。

Key Insight（关键理解）

• Intervals communicate precision.
• 区间揭示估计的精确度与可靠性。

---

3. Confidence Level (置信水平)

Meaning (含义)

• (1−α) proportion of constructed intervals contain μ in repeated sampling.
• 重复抽样下，有 (1−α) 的区间会包含 μ。

Not Meaning (不正确的解释)

• NOT probability μ falls in this specific interval.
• 不是“μ 有 95% 的概率在这个区间里”。

Examples (示例)

• 90% → Z = 1.645
• 95% → Z = 1.96
• 99% → Z = 2.576

Higher Confidence → Wider Interval（置信度越高 → 区间越宽）

• Must widen interval to be more “confident”.
• 想要更高置信度必须牺牲精确度。

---

4. Margin of Error (误差范围 E)

Formula (公式)

• $E=Z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Meaning (含义)

• Captures sampling variability of sample mean.
• 描述样本均值的抽样误差。

Influencing Factors (影响因素)

Z-value (Z 值)

• Higher Z → larger E
• Z 越大 → E 越大

Standard deviation σ（总体标准差）

• Higher σ → more variability → larger E
• σ 越大 → 抽样波动越大 → E 越大

Sample size n（样本量）

• Larger n → smaller SE → smaller E
• 样本越大 → 标准误越小 → E 越小

---

5. Sampling Distribution of x̄ (样本均值的抽样分布)

Shape (形状)

• Normal if population normal, or n ≥ 30.
• 若总体正态或 n≥30，则样本均值近似正态。

Mean & Spread（均值与分散）

• Mean = μ
• 均值等于总体均值 μ
• SE = σ / √n
• 标准误为 σ / √n

Confidence Region（置信区域）

• Middle (1−α) contains likely means.
• 中间 (1−α) 区域包含大部分可能的均值。

Tail Areas α/2（两侧尾部 α/2）

• Represent rare sample outcomes.
• 表示不太可能出现的样本均值。

---

6. CI for μ when σ is Known (σ 已知时的均值置信区间)

Formula (公式)

• $\bar{x}\pm Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Conditions (适用条件)

• Population standard deviation known（σ 已知）
• Population normal OR n ≥ 30
• 总体正态或样本量足够大

Steps (步骤)

1. Compute SE（计算标准误）

• $SE=\sigma /\surd n$

2. Find Z-value（查 Z 值）

• Based on confidence level
• 根据置信水平查表

3. Compute E（算误差范围）

• $E=Z\times SE$

4. Build CI（构造区间）

• $(\bar{x}-E,\bar{x}+E)$

---

7. Table of Z-values (Z 值表)

Confidence Level → Z value（置信水平 → Z 值）

70%

• Z ≈ 1.04
• 区间最窄

80%

• Z ≈ 1.28

90%

• Z ≈ 1.645

95%

• Z ≈ 1.96
• 最常用

99%

• Z ≈ 2.576
• 区间明显变宽

---

8. Interpretation of CI (置信区间的解释)

Correct Interpretation（正确理解）

• 95% of intervals constructed this way contain μ.
• 95% 的区间会在长期包含 μ。

Incorrect Interpretation（错误理解）

• “μ has 95% chance to be in this range.”（错误）
• 不是 μ 落在区间里的概率。

Two Key Insights（两个关键点）

CI is about the method（关于方法）

• Not about μ moving.
• μ 不会动，区间是随机的。

CI width reflects uncertainty（区间越宽 → 不确定性越大）

• 宽区间代表更谨慎，但精确度低。

---

9. Fully Worked Example (完整示例题)

Given (已知)

• n = 36
• $\bar{x}=41,100$
• σ = 4,500
• Confidence = 95% (Z = 1.96)

Step 1 — Compute SE（计算标准误）

• $SE=4,500/6=750$

Step 2 — Compute E（计算误差范围）

• $E=1.96\times 750=1,470$

Step 3 — Construct CI（构造置信区间）

• $(41,100-1,470,41,100+1,470)$
• = (39,630, 42,570)

Interpretation（解释）

• 95% CI suggests true μ is likely between 39,630 and 42,570.
• 我们有 95% 信心 μ 落在 39,630 与 42,570 之间。

---

10. Summary of Key Takeaways (核心总结)

CI = Estimate ± Error（置信区间 = 估计值 ± 误差）

• 区间估计比点估计更能表达不确定性。

Higher CL → Wider CI（置信度高 → 区间宽）

• 必须牺牲精确度换取更高信心。

σ Known → Use Z（σ 已知 → 使用 Z 分布）

• σ Unknown → use t-distribution（下一讲内容）

CI Interpretation = Method Reliability（CI 的本质是方法可靠性）

• 不是 μ 的概率。