·第16讲——假设检验思维导图

Lecture 16 — Hypothesis Testing (第16讲——假设检验)

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1. Overview of Lecture 16 (第16讲概览)

Topics (主题)

• Developing null & alternative hypotheses (构建原假设与备择假设)
• Type I and Type II errors (第一类与第二类错误)
• Population mean test with known $\sigma$ using $z$ (已知 $\sigma$ 时用 $z$ 检验总体均值)
• One-tailed vs. two-tailed tests, $p$-value, $z$-score, confidence interval approach (单尾/双尾检验、p 值、z 分数与置信区间方法)

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2. Purpose of Hypothesis Testing (假设检验的目的)

Idea (基本思想)

• Decide whether to reject a statement about a population parameter using sample data.
• 利用样本数据判断是否应当拒绝关于总体参数的陈述。

Population vs. Sample (总体与样本)

• Population parameter is unknown; sample statistic provides evidence.
• 总体参数未知，样本统计量提供证据。

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3. Null & Alternative Hypotheses (原假设与备择假设)

Null Hypothesis $H_0$ (原假设 $H_0$)

• Baseline or “no effect / no difference” statement about a parameter.
• 表示“无变化/无差异”的基准陈述。
• Equality sign always belongs to $H_0$ (e.g., $=$, $\ge$, $\le$).
• 等号总写在 $H_0$ 中，如 $=$、$\ge$、$\le$。

Alternative Hypothesis $H_a$ (备择假设 $H_a$)

• Research claim, opposite to $H_0$ (effect or difference exists).
• 研究者真正关心的主张，与 $H_0$ 相反，表示存在效应或差异。
• Direction of $H_a$ ($>$, $<$, $\ne$) determines test type (one- or two-tailed).
• $H_a$ 的方向（$>$、$<$、$\ne$）决定检验是单尾还是双尾。

Using Sample Data (利用样本数据)

• Compute test statistic from sample and compare with distribution under $H_0$.
• 用样本计算检验统计量，再与 $H_0$ 下的理论分布比较。

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4. Supporting $H_a$ vs. Not Rejecting $H_0$ (支持 $H_a$ 与不拒绝 $H_0$)

Supporting $H_a$ (支持备择假设)

• If sample result is very unlikely under $H_0$, we reject $H_0$ and say data support $H_a$.
• 若样本结果在 $H_0$ 为真时几乎不可能出现，就拒绝 $H_0$，认为数据支持 $H_a$。

Not Rejecting $H_0$ (不拒绝原假设)

• If sample result is plausible under $H_0$, we “do not reject $H_0$”.
• 若样本结果在 $H_0$ 下很常见，则“不拒绝 $H_0$”。
• “Do not reject” ≠ “prove $H_0$ true”; evidence is simply not strong enough.
• “不拒绝”并不等于“证明 $H_0$ 为真”，只表示证据不够强。

Example: Teaching Methods (教学方法示例)

• $H_a:{\mu }_2>{\mu }_1$ (class B with new method better than A); $H_0:{\mu }_2\le {\mu }_1$.
• 例：$H_a:{\mu }_2>{\mu }_1$（新方法 B 班更好），$H_0:{\mu }_2\le {\mu }_1$。

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5. One-Tailed vs. Two-Tailed Tests (单尾检验与双尾检验)

One-Tailed Tests (单尾检验)

• Concern only one direction (e.g., “greater than” or “less than”).

• 只关心单一方向的变化（只关心“变大”或“变小”）。

• Forms:

  • Lower-tail: $H_0:\mu \ge {\mu }_0$, $H_a:\mu <{\mu }_0$
  • Upper-tail: $H_0:\mu \le {\mu }_0$, $H_a:\mu >{\mu }_0$

Two-Tailed Tests (双尾检验)

• Detect any difference (either greater or less).
• 检测“是否不同”，不区分方向。
• Form: $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_a:\mu \ne {\mu }_0$。

Example: Bottle Sizes (瓶子大小示例)

• One-tail: $H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2$ vs. $H_a:{\mu }_1>{\mu }_2$ (A not bigger than B).
• 单尾例：$H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2$ 对比 $H_a:{\mu }_1>{\mu }_2$。
• Two-tail: $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$ vs. $H_a:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.
• 双尾例：$H_0:{\mu }_1={\mu }_2$ 对比 $H_a:{\mu }_1\ne {\mu }_2$。

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6. Type I & Type II Errors (第一类与第二类错误)

Why Errors Occur (为什么会出错)

• Decisions are based on samples, not the whole population.
• 决策基于样本而非总体，存在抽样误差与偏差。

Type I Error (第一类错误)

• Reject $H_0$ when $H_0$ is actually true.
• 在 $H_0$ 真实时错误地拒绝 $H_0$。
• Probability of Type I error = significance level $\alpha$.
• 第一类错误的概率就是显著性水平 $\alpha$。

Type II Error (第二类错误)

• Do not reject $H_0$ when $H_0$ is false (i.e., $H_a$ is true).
• 在 $H_0$ 为假时仍然不拒绝 $H_0$。
• Probability denoted by $\beta$; affected by sample size and true effect size.
• 用 $\beta$ 表示，受样本量与真实效应大小影响。

Decision Table (决策表)

• $H_0$ true + do not reject → correct decision.
• $H_0$ 为真 + 不拒绝 → 正确决策。
• $H_0$ true + reject → Type I error.
• $H_0$ 为真 + 拒绝 → 第一类错误。
• $H_0$ false + reject → correct decision.
• $H_0$ 为假 + 拒绝 → 正确决策。
• $H_0$ false + do not reject → Type II error.
• $H_0$ 为假 + 不拒绝 → 第二类错误。

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7. p-Value Concept (p 值的概念)

Definition (定义)

• p-value: probability, assuming $H_0$ is true, of observing a test statistic at least as extreme as the sample’s.
• p 值：在假定 $H_0$ 为真时，观察到当前或更极端检验统计量的概率。

Decision Rule (决策规则)

• If $p\le \alpha$, reject $H_0$ and support $H_a$.
• 若 $p\le \alpha$，拒绝 $H_0$，支持 $H_a$。
• If $p>\alpha$, do not reject $H_0$.
• 若 $p>\alpha$，则不拒绝 $H_0$。

Evidence Strength (证据强度)

• $p<0.01$ → very strong evidence for $H_a$.
• $p<0.01$ → 支持 $H_a$ 的证据非常强。
• $p<0.05$ → strong evidence.
• $p<0.05$ → 证据强。
• $p<0.10$ → acceptable evidence.
• $p<0.10$ → 证据尚可。
• $p>0.10$ → insufficient evidence.
• $p>0.10$ → 证据不足。

Graph Example (图形示例)

• Left-tail: $p$ is shaded area beyond observed $z$; compare with $\alpha =0.10$.
• 左尾例：p 值为观测 z 左侧阴影面积，与 $\alpha =0.10$ 比较。

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8. z-Score Approach (z 分数方法)

Relationship to p-Value (与 p 值的关系)

• Each $z$ from standard normal has a corresponding tail probability $p$.
• 标准正态中的每个 z 都对应一个尾部概率 p。
• Two-tailed: reject $H_0$ if $|z|>z_{\alpha /2}$.
• 双尾检验：若 $|z|>z_{\alpha /2}$ 则拒绝 $H_0$。
• One-tailed: reject $H_0$ if $z>z_{\alpha }$ (upper) or $z<-z_{\alpha }$ (lower).
• 单尾检验：右尾 $z>z_{\alpha }$，左尾 $z<-z_{\alpha }$ 时拒绝 $H_0$。

Critical Values (临界值)

• Common two-tailed:

  • $\alpha =0.10$: $z_{\alpha /2}=1.64$
  • $\alpha =0.05$: $z_{\alpha /2}=1.96$
  • $\alpha =0.01$: $z_{\alpha /2}=2.58$

• 常用双尾临界值如上。

• Common one-tailed:

  • $\alpha =0.10$: $z_{\alpha }=1.28$
  • $\alpha =0.05$: $z_{\alpha }=1.64$
  • $\alpha =0.01$: $z_{\alpha }=2.33$

Evidence Interpretation (证据含义)

• Smaller p ↔ larger $|z|$ beyond critical value → stronger evidence against $H_0$.
• p 越小、$|z|$ 超过临界值越多 → 反对 $H_0$ 的证据越强。

Example (示例)

• Two-tailed, $\alpha =0.05$: $z=\pm 2.74$ gives p ≈ 0.0062 < 0.05 → reject $H_0$.
• 例：双尾 α=0.05 时，$z=\pm 2.74$ 对应 p≈0.0062，小于 0.05，应拒绝 $H_0$。

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9. z-Test Procedure for Mean (σ Known) (已知 σ 的均值 z 检验步骤)

Step 1 — Set Hypotheses (步骤1——写出假设)

• Choose $H_0$ and $H_a$ based on research question and direction.
• 根据问题及方向写出 $H_0$ 与 $H_a$。

Step 2 — Choose α & Tail Type (步骤2——选定 α 与尾部)

• Select significance level α (e.g., 0.10, 0.05, 0.01) and decide one- or two-tailed.
• 选显著性水平 α，并决定是单尾还是双尾检验。

Step 3 — Compute z-Value (步骤3——计算 z 值)

• Use formula $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$.
• 用公式 $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$ 计算 z。

Step 4 — Find Critical Value(s) (步骤4——求临界值)

• Use α to get $z_{\alpha }$ (one-tail) or $z_{\alpha /2}$ (two-tail).
• 利用 α 查表或用软件得到 $z_{\alpha }$ 或 $z_{\alpha /2}$。

Step 5 — Make Decision (步骤5——作出决策)

• Compare $z$ with critical value(s) or compare p with α; decide reject / not reject $H_0$.
• 比较 z 与临界值或 p 与 α，决定是否拒绝 $H_0$。

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10. Example: 12-Minute Time Goal (12 分钟目标示例)

Problem Setup (问题设定)

• Population $\sigma =3.2$, $n=40$, goal: mean time $\mu \le 12$ minutes.
• 总体标准差 3.2，样本量 40，目标是平均时间不超过 12 分钟。
• $H_0:\mu \le 12$, $H_a:\mu >12$ (upper-tail test).
• 设 $H_0:\mu \le 12$，$H_a:\mu >12$，为右尾检验。

Case 1: $\bar{x}=13.25$ (样本均值 13.25)

• $z_1=2.47$, p = 0.0068 < 0.05, $z_1>z_{\alpha }=1.64$ → reject $H_0$.
• $z_1=2.47$，p=0.0068<0.05 且 $z_1>1.64$ → 拒绝 $H_0$，目标未达成。

Case 2: $\bar{x}=12.5$ (样本均值 12.5)

• $z_2=0.99$, p = 0.1611 > 0.05, $z_2<1.64$ → do not reject $H_0$.
• $z_2=0.99$，p=0.1611>0.05 且 $z_2<1.64$ → 不拒绝 $H_0$，目标可视为达成。

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11. Confidence Interval Approach (置信区间方法)

Idea (核心思想)

• Build a $(1-\alpha )\times 100$ confidence interval for $\mu$: $\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.
• 构造 $(1-\alpha )\times 100$ 的总体均值置信区间： $\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。

Decision Rule (决策规则)

• If CI contains ${\mu }_0$ → do not reject $H_0$.
• 若置信区间包含 ${\mu }_0$ → 不拒绝 $H_0$。
• If CI does not contain ${\mu }_0$ → reject $H_0$.
• 若置信区间不包含 ${\mu }_0$ → 拒绝 $H_0$。

Example with Two Samples (两个样本的例子)

• For ${\bar{x}}_1=13.25$: CI = (12.26, 14.24), does not contain 12 → reject $H_0$.
• 对于 ${\bar{x}}_1=13.25$：区间 (12.26, 14.24) 不包含 12 → 拒绝 $H_0$。
• For ${\bar{x}}_2=12.5$: CI = (11.51, 13.49), contains 12 → do not reject $H_0$.
• 对于 ${\bar{x}}_2=12.5$：区间 (11.51, 13.49) 包含 12 → 不拒绝 $H_0$。

Link to z-Test (与 z 检验的联系)

• CI and z-test at same α always give the same decision.
• 相同 α 下，置信区间法与 z 检验的结论完全一致。

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12. Summary of Lecture 16 (第16讲小结)

Key Takeaways (关键要点)

• Hypothesis testing compares $H_0$ and $H_a$ using sample evidence.
• 假设检验用样本证据在 $H_0$ 与 $H_a$ 之间作出判断。
• Choice of one- vs. two-tailed test depends on research question direction.
• 单尾或双尾检验由研究问题的方向决定。
• Errors (Type I & II) are unavoidable; α controls Type I error.
• 第一、二类错误难以完全避免，α 控制第一类错误概率。
• p-value, z-score, and confidence interval are three equivalent ways to make decisions.
• p 值、z 分数与置信区间是三种等价的决策工具。