相关例题

Q1 — Setting Hypotheses for Delivery Time（设定送达时间的假设）

Question (EN): An e-commerce company promises that its average delivery time is no more than 3 days. A researcher wants to test whether customers are actually waiting longer than promised.

1. Define the null hypothesis $H_0$ and alternative hypothesis $H_a$ using the population mean delivery time $\mu$.
2. State whether this is a one-tailed or two-tailed test, and which tail.
3. In this context, describe in words what a Type I error and a Type II error would mean.

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题目（中文）： 某电商平台承诺平均送达时间不超过 3 天。研究者想检验顾客实际上是否等待更久。

1. 以总体平均送达时间 $\mu$ 表示，写出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_a$。
2. 判断这是单尾检验还是双尾检验，并说明是哪一侧尾部。
3. 在该场景下，用文字解释第一类错误与第二类错误分别意味着什么。

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4. Hypotheses:

   • $H_0:\mu \le 3$
   • $H_a:\mu >3$

5. This is a one-tailed, upper-tail test (we only care if $\mu$ is larger than $3$).

6. Error meanings:

   • Type I error: Reject $H_0$ and conclude customers wait more than $3$ days when in fact $\mu \le 3$.
   • Type II error: Fail to reject $H_0$ and conclude the promise is met when in fact $\mu >3$.

结论： 本题是右尾单尾检验，$H_0:\mu \le 3$，$H_a:\mu >3$，第一类错误是“误判为超时”，第二类错误是“明明超时却没发现”。

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思路 / 解析：

• 研究问题是“是否更久”，方向是“变大”，所以备择假设取 $H_a:\mu >3$，原假设取相反并含等号：$H_0:\mu \le 3$。
• 只关心右侧尾部，所以是右尾单尾检验。
• 第一类错误对应“真 $H_0$ 被拒绝”，第二类错误对应“假 $H_0$ 没被拒绝”，套入具体情境即可。

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Q2 — Upper-Tail z-Test for Assembly Time（装配时间的右尾 $z$ 检验）

Question (EN): A factory sets a goal that the average assembly time per unit should be 12 minutes or less. The population standard deviation is known to be $\sigma =3.2$ minutes. A sample of $n=40$ units has a mean assembly time of $\bar{x}=13.25$ minutes.

Using $\alpha =0.05$, test whether the goal has not been achieved (i.e., the mean exceeds 12 minutes). Assume normality.

1. State $H_0$ and $H_a$.
2. Compute the $z$-value.
3. Using the critical-value approach (upper-tail), decide whether to reject $H_0$ with $z_{\alpha }=1.64$.
4. Interpret the decision in context.

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题目（中文）： 某工厂设定目标：平均装配时间不超过 12 分钟。总体标准差已知为 $\sigma =3.2$ 分钟。抽取 $n=40$ 件产品样本，样本平均装配时间为 $\bar{x}=13.25$ 分钟。 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验该目标是否没有达到（即平均时间是否超过 12 分钟）。假设装配时间近似正态分布。

1. 写出 $H_0$ 与 $H_a$。
2. 计算 $z$ 值。
3. 使用**临界值法（右尾检验）**判断是否拒绝 $H_0$（取 $z_{\alpha }=1.64$）。
4. 在情境中解释你的结论。

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1. $H_0:\mu \le 12$；$H_a:\mu >12$。
2. $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{13.25-12}{3.2/\sqrt{40}}\approx \frac{1.25}{0.506}\approx \mathrm{2.47.}$
3. Upper-tail critical value: $z_{\alpha }=1.64$. Since $z=2.47>1.64$，reject $H_0$.
4. The sample provides strong evidence that the true mean assembly time exceeds 12 minutes, so the goal has not been achieved.

结论： 拒绝 $H_0$，认为平均装配时间大于 12 分钟，工厂未达到原定目标。

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思路 / 解析：

• 管理目标“$\mu \le 12$”放在 $H_0$，怀疑“偏慢”放在 $H_a:\mu >12$。
• 已知 $\sigma$ 用 $z$ 检验：$z=(\bar{x}-{\mu }_0)/(\sigma /\sqrt{n})$。
• 将 $z$ 与右尾临界值 $z_{\alpha }$ 比较：若 $z>z_{\alpha }$ 落在拒绝域，则拒绝 $H_0$。

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Q3 — Left-Tail p-Value Test for Defect Rate（次品率的左尾 $p$ 值检验）

Question (EN): A quality manager claims that a new process reduces the defect rate below the historical level of $5$. Let $\mu$ be the true defect rate (proportion). A sample of $n=200$ items from the new process shows a sample defect rate of $\bar{x}=0.032$ with known standard deviation approximately $\sigma =0.05$.

Using $\alpha =0.10$, perform a left-tailed $z$-test using the p-value approach.

1. State $H_0$ and $H_a$.
2. Compute the $z$-value.
3. Find the p-value (left-tail).
4. Decide whether to reject $H_0$ and state your conclusion.

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题目（中文）： 质管经理声称，新工艺可以把次品率降到历史水平 $5$ 以下。设 $\mu$ 为真实次品率（比例）。从新工艺中抽取 $n=200$ 件产品，样本次品率为 $\bar{x}=0.032$，已知标准差约为 $\sigma =0.05$。 在显著性水平 $\alpha =0.10$ 下，使用 $p$ 值法 做左尾 $z$ 检验：

1. 写出 $H_0$ 与 $H_a$。
2. 计算 $z$ 值。
3. 求出左尾检验的 $p$ 值。
4. 判断是否拒绝 $H_0$ 并给出结论。

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1. $H_0:\mu \ge 0.05$；$H_a:\mu <0.05$。
2. $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{0.032-0.05}{0.05/\sqrt{200}}=\frac{-0.018}{0.00354}\approx -\mathrm{5.08.}$
3. Left-tail p-value: $p=P(Z\le -5.08)\approx 0.0000$（极小，约为 $<0.0001$）。
4. 因为 $p\ll \alpha =0.10$，我们拒绝 $H_0$，认为新工艺显著降低了次品率，真实次品率低于 $5$。

结论： $p$ 值几乎为 0，远小于 0.10，说明反对 $H_0$ 的证据极强，新工艺在降低次品率方面显著优于旧工艺。

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思路 / 解析：

• “降低到 $5$ 以下” → $H_a:\mu <0.05$，$H_0$ 取相反且含等号。
• 比例在大样本下近似正态，因此仍可用 $z$ 统计量。
• 由于 $z$ 非常负，对应的左尾 $p$ 值几乎为 0，自然远小于 $\alpha =0.10$。

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Q4 — Two-Tailed Test with z and p（双尾 $z$ 检验与 $p$ 值）

Question (EN): A bank monitors the average waiting time at a branch. Historically, the mean waiting time is ${\mu }_0=8$ minutes with known $\sigma =4$ minutes. After a layout change, a sample of $n=64$ customers yields a mean waiting time of $\bar{x}=6.9$ minutes.

At $\alpha =0.05$, test whether the average waiting time has changed. Use both the critical-value approach and the p-value approach for a two-tailed test.

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题目（中文）： 某银行网点监控顾客平均等候时间。历史平均等候时间为 ${\mu }_0=8$ 分钟，已知 $\sigma =4$ 分钟。调整网点布局后，抽取 $n=64$ 位顾客，样本平均等候时间为 $\bar{x}=6.9$ 分钟。 在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，检验平均等候时间是否发生变化。对于双尾检验，分别使用临界值法和 $p$ 值法。

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1. Hypotheses: $H_0:\mu =8$；$H_a:\mu \ne 8$。

2. Test statistic: $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{6.9-8}{4/\sqrt{64}}=\frac{-1.1}{0.5}=-\mathrm{2.20.}$

3. Critical-value approach:

   • For $\alpha =0.05$ (two-tailed), $z_{\alpha /2}=1.96$。
   • 因为 $|z|=2.20>1.96$，拒绝 $H_0$。

4. p-value approach:

   • Single-tail probability: $P(Z\le -2.20)\approx 0.0139$。
   • Two-tailed p-value: $p=2\times 0.0139\approx 0.0278<0.05$。
   • 同样得到结论：拒绝 $H_0$。

5. Interpretation: There is significant evidence that the mean waiting time has changed; the new mean $6.9$ minutes is lower than $8$ minutes.

结论： 无论用临界值法还是 $p$ 值法，都得到 $|z|>1.96$ 且 $p<0.05$，应拒绝 $H_0$，说明平均等候时间发生了显著变化并且缩短了。

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思路 / 解析：

• “是否发生变化”→ 双尾检验：$H_a:\mu \ne 8$。
• 临界值法看 $|z|$ 是否超过 $z_{\alpha /2}$；$p$ 值法看 $p$ 是否小于 $\alpha$。
• 两种方法只是同一逻辑的不同表达，结论应当一致。

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Q5 — Interpreting Type I and II Errors（理解第一类与第二类错误）

Question (EN): A university tests a new teaching method for an introductory statistics course. Let $\mu$ be the true mean exam score with the new method, and the traditional method has a historical mean of ${\mu }_0=72$. The university tests

• $H_0:\mu \le 72$
• $H_a:\mu >72$

with $\alpha =0.05$.

Describe in words:

1. What is a Type I error in this context?
2. What is a Type II error?
3. Which error is directly controlled by $\alpha$, and what does $\alpha =0.05$ mean here?

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题目（中文）： 某大学为统计学入门课测试一种新的教学方法。设新方法下真实平均成绩为 $\mu$，传统方法的历史均值为 ${\mu }_0=72$。学校进行检验：

• $H_0:\mu \le 72$

• $H_a:\mu >72$ 显著性水平为 $\alpha =0.05$。 说明：

1. 在该情境下什么是第一类错误？
2. 什么是第二类错误？
3. 哪一种错误由 $\alpha$ 直接控制？$\alpha =0.05$ 在此表示什么含义？

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4. Type I error: Conclude that the new method improves scores (reject $H_0$) when in fact $\mu \le 72$ and the new method is not better.
5. Type II error: Conclude that the new method is not better (fail to reject $H_0$) when in fact $\mu >72$ and the new method really improves scores.
6. The significance level $\alpha$ controls $P(\text{Type I error})$. Here $\alpha =0.05$ means: if $H_0$ is actually true, the university accepts a $5$ chance of wrongly concluding that the new method is better.

结论： 第一类错误是“把无效方法当成有效”，第二类错误是“把有效方法当成无效”，而 $\alpha =0.05$ 把第一类错误的概率限定在约 $5$。

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思路 / 解析：

• 记忆：Type I = “错杀好人”（真 $H_0$ 被拒绝），Type II = “放走坏人”（假 $H_0$ 没被拒）。
• 显著性水平 $\alpha$ 是我们事先选定的 Type I error 的最大容忍概率。

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Q6 — Confidence Interval vs Hypothesis Test（置信区间与假设检验）

Question (EN): For a certain production line, the target mean processing time is ${\mu }_0=30$ minutes. The population standard deviation is known to be $\sigma =4$ minutes. A random sample of $n=64$ items gives a sample mean of $\bar{x}=31$ minutes.

1. Construct a $95$ confidence interval for the true mean $\mu$.
2. Using this interval, test $H_0:\mu =30$ vs $H_a:\mu \ne 30$ at $\alpha =0.05$.
3. Explain whether your conclusion matches what you would get from a two-tailed $z$-test.

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题目（中文）： 某生产线的目标平均加工时间为 ${\mu }_0=30$ 分钟。已知总体标准差 $\sigma =4$ 分钟。从生产线上随机抽取 $n=64$ 件产品，样本平均加工时间为 $\bar{x}=31$ 分钟。

1. 构造真实平均加工时间 $\mu$ 的 $95$ 置信区间。
2. 利用该区间，在 $\alpha =0.05$ 下检验 $H_0:\mu =30$ 对 $H_a:\mu \ne 30$。
3. 说明这个结论是否与双尾 $z$ 检验一致。

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4. For a $95$ CI with known $\sigma$, use $\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},z_{\alpha /2}=\mathrm{1.96.}$ 代入数据： $\text{CI}=31\pm 1.96\frac{4}{\sqrt{64}}=31\pm 1.96\times 0.5=31\pm 0.98=(30.02,31.98).$
5. 检查 ${\mu }_0=30$ 是否在区间 $(30.02,31.98)$ 内。因为 $30$ 不在区间内，所以在 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，认为 $\mu$ 与 $30$ 显著不同（略大）。
6. Two-tailed $z$-test: $z=\frac{31-30}{4/\sqrt{64}}=\frac{1}{0.5}=\mathrm{2.00.}$ 比较 $|z|=2.00$ 与 $z_{\alpha /2}=1.96$，同样得到 $|z|>1.96$，因此也拒绝 $H_0$。两种方法给出的结论一致。

结论： $95$ 置信区间为 $(30.02,31.98)$，不包含 $30$，与双尾 $z$ 检验的拒绝结论完全一致。

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思路 / 解析：

• 已知 $\sigma$ 且样本较大，用正态置信区间公式。
• 若 $H_0$ 中的 ${\mu }_0$ 不在置信区间内，则在对应显著性水平下应拒绝 $H_0$。
• 区间端点是通过同一个 $z_{\alpha /2}$ 推导出来的，所以与相同 $\alpha$ 的双尾 $z$ 检验必然一致。

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Q7 — Choosing One- or Two-Tailed Test（选择单尾或双尾检验）

Question (EN): For each situation below, decide whether you should use a one-tailed or two-tailed hypothesis test, and write appropriate $H_0$ and $H_a$ using the population mean $\mu$.

1. A marketing team claims a new advertisement increases the average daily sales above the current level of $50,000.
2. A regulator wants to know if the average pollutant level of a factory is different from the legal limit of 30 ppm (parts per million), in either direction.

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题目（中文）： 对下面每种情境，判断应使用单尾检验还是双尾检验，并用总体均值 $\mu$ 写出 $H_0$ 与 $H_a$。

1. 市场部门声称，新广告能将平均日销售额提高到当前 50,000 美元以上。
2. 监管机构要判断某工厂平均污染物浓度是否与法定限值 30 ppm 不同（不论高低）。

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1. Marketing claim (increase):

   • One-tailed, upper-tail.
   • $H_0:\mu \le 50,000$
   • $H_a:\mu >50,000$

2. Regulator (difference):

   • Two-tailed.
   • $H_0:\mu =30$
   • $H_a:\mu \ne 30$

结论： 有明确“变大/变小”方向 → 单尾；只问“是否不同” → 双尾。

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思路 / 解析：

• 单尾检验的特点是研究问题有明确方向，例如“更高”“更低”。
• 双尾检验只关心“是否有差异”，不预设方向。
• 写假设时，$H_0$ 总是包含等号，$H_a$ 则与研究问题方向一致。

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Q8 — Rejection Region and Observed z（拒绝域与观测 $z$ 值）

Question (EN): Suppose you perform a two-tailed $z$-test at significance level $\alpha =0.10$ with

• $H_0:\mu ={\mu }_0$
• $H_a:\mu \ne {\mu }_0$

1. Find the critical values $-z_{\alpha /2}$ and $z_{\alpha /2}$.

2. For each observed test statistic, state whether you reject $H_0$ or fail to reject $H_0$:

   • (a) $z=1.20$
   • (b) $z=-1.90$
   • (c) $z=2.50$

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题目（中文）： 在显著性水平 $\alpha =0.10$ 下进行双尾 $z$ 检验：

• $H_0:\mu ={\mu }_0$

• $H_a:\mu \ne {\mu }_0$

1. 求出临界值 $-z_{\alpha /2}$ 与 $z_{\alpha /2}$。

2. 对以下每个观测 $z$ 值，判断是拒绝 $H_0$还是不拒绝 $H_0$：

   • (a) $z=1.20$
   • (b) $z=-1.90$
   • (c) $z=2.50$

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1. 对于双尾检验，$\alpha /2=0.05$，因此 $z_{\alpha /2}\approx 1.64,-z_{\alpha /2}\approx -\mathrm{1.64.}$ 拒绝域为 $z<-1.64$ 或 $z>1.64$。

2. 决策：

   • (a) $|z|=1.20<1.64$ → 不拒绝 $H_0$。
   • (b) $|z|=1.90>1.64$ → 拒绝 $H_0$。
   • (c) $|z|=2.50>1.64$ → 拒绝 $H_0$。

结论： 在 $\alpha =0.10$ 的双尾检验中，只有 (b)、(c) 的 $|z|$ 超过 1.64 落入拒绝域，需要拒绝 $H_0$。

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思路 / 解析：

• 双尾检验统一用“看 $|z|$ 是否大于 $z_{\alpha /2}$”。
• 当显著性水平为 0.10 时，$z_{\alpha /2}\approx 1.64$。
• 逐个比较 $|z|$ 与 1.64 即可判断是否落入拒绝域。

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Q9 — Comparing Two p-Values（比较两个 $p$ 值）

Question (EN): Two different studies test the same null hypothesis $H_0:\mu =100$ against the same alternative $H_a:\mu \ne 100$ using independent samples. Both use significance level $\alpha =0.05$.

• Study A reports p-value $p_A=0.048$.
• Study B reports p-value $p_B=0.12$.

1. For each study, state whether $H_0$ is rejected at $\alpha =0.05$.
2. Which study provides stronger evidence against $H_0$? Explain.
3. If a journal only accepts results with p-value below $0.01$, would either study qualify?

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题目（中文）： 两个独立研究都在检验同一原假设 $H_0:\mu =100$ 与备择 $H_a:\mu \ne 100$，显著性水平均为 $\alpha =0.05$。

• 研究 A 报告 $p_A=0.048$；

• 研究 B 报告 $p_B=0.12$。

1. 在 $\alpha =0.05$ 下，各自是否拒绝 $H_0$？
2. 哪个研究对 $H_0$ 的反对证据更强？说明理由。
3. 若某期刊只接受 $p<0.01$ 的研究结果，这两项研究是否有资格？

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4. 决策：

   • Study A：$p_A=0.048<0.05$ → 拒绝 $H_0$。
   • Study B：$p_B=0.12>0.05$ → 不拒绝 $H_0$。

5. 较小的 $p$ 值意味着对 $H_0$ 更强的反对证据，因此 Study A（$0.048$）比 Study B（$0.12$）证据更强。

6. 若期刊要求 $p<0.01$，则 $0.048$ 和 $0.12$ 都不满足，因此两项研究都不符合。

结论： 在 $\alpha =0.05$ 下，只有研究 A 拒绝 $H_0$，且 A 的证据更强；若门槛改为 $0.01$，两项研究都不达标。

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思路 / 解析：

• 决策规则：若 $p\le \alpha$ 则拒绝 $H_0$，否则不拒绝。
• $p$ 值本身可以比较大小，越小越不支持 $H_0$。
• 当评价标准改变（例如要求 $p<0.01$）时，需重新与该阈值比较。

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Q10 — Integrated Hypothesis Test Scenario（综合检验与置信区间）

Question (EN): A call center claims its average call handling time is 6 minutes or less. Historical data suggest the population standard deviation is $\sigma =2.4$ minutes. A supervisor takes a random sample of $n=36$ calls and finds a sample mean of $\bar{x}=6.8$ minutes. Assume call times are approximately normal.

Using significance level $\alpha =0.10$:

1. Set up $H_0$ and $H_a$ to test whether the center is failing to meet its claim.
2. Compute the test statistic $z$.
3. Using the p-value approach, decide whether to reject $H_0$.
4. Construct the corresponding $90$ confidence interval for $\mu$ and check whether ${\mu }_0=6$ lies inside it.
5. Explain how the CI result supports your test decision.

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题目（中文）： 某呼叫中心声称其平均通话处理时间不超过 6 分钟。历史数据表明总体标准差约为 $\sigma =2.4$ 分钟。主管随机抽取 $n=36$ 个来电，样本平均处理时间为 $\bar{x}=6.8$ 分钟。假设通话时间近似正态分布。 在显著性水平 $\alpha =0.10$ 下：

1. 建立 $H_0$ 与 $H_a$，检验该中心是否没有达到其承诺。
2. 计算检验统计量 $z$。
3. 使用 $p$ 值法 判断是否拒绝 $H_0$。
4. 构造 $\mu$ 的 $90$ 置信区间，检查 ${\mu }_0=6$ 是否落在区间内。
5. 说明置信区间的结果如何支持你的检验结论。

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6. Claim “$\mu \le 6$” in $H_0$，test if mean is greater:

   • $H_0:\mu \le 6$
   • $H_a:\mu >6$

7. $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{6.8-6}{2.4/\sqrt{36}}=\frac{0.8}{0.4}=\mathrm{2.00.}$

8. Upper-tail p-value: $p=P(Z\ge 2.00)\approx \mathrm{0.0228.}$ 因为 $p\approx 0.0228<\alpha =0.10$，拒绝 $H_0$，认为真实平均处理时间大于 6 分钟，呼叫中心未达标。

9. $90$ CI 对应 $\alpha =0.10$、$z_{\alpha /2}=z_{0.05}\approx 1.64$： $\text{CI}=\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=6.8\pm 1.64\times \frac{2.4}{\sqrt{36}}=6.8\pm 1.64\times 0.4=6.8\pm 0.656=(6.144,7.456).$ 由于 ${\mu }_0=6$ 不在区间 $(6.144,7.456)$ 内，因此在 $90$ 置信水平下 $H_0$ 不合理。

10. The CI is entirely above $6$, so all plausible values of $\mu$ at the $90$ level are greater than $6$. This matches the test decision that the true mean exceeds $6$ minutes.

结论： $p\approx 0.0228<0.10$，拒绝 $H_0$；$90$ 置信区间 $(6.144,7.456)$ 也完全在 6 以上，两种方法都表明中心未能实现“平均不超过 6 分钟”的承诺。

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思路 / 解析：

• 声称“$\mu \le 6$”→ $H_0$，怀疑其“超过 6”→ $H_a:\mu >6$，右尾检验。
• 用 $z$ 公式算出统计量，再从标准正态表或函数求右尾 $p$ 值。
• 构造与 $\alpha =0.10$ 配对的 $90$ 置信区间，若假设值不在区间内，则与拒绝 $H_0$ 的结论一致。

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