·Statistical Inference for Difference of Means (两个总体均值差的统计推断)思维导图

Statistical Inference for Difference of Means (两个总体均值差的统计推断)

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1. Overview of Chapter 10 & Lecture 19 (第10章与第19讲概览)

Topic (主题)

• Statistical inference about the difference of population means.
• 研究两个总体均值之差的统计推断问题。

Two Main Cases (两种主要情形)

• Case 1: population standard deviations ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ known.
• 情形一：总体标准差 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 已知。
• Case 2: population standard deviations ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ unknown (later with $t$).
• 情形二：总体标准差未知（后续用 $t$ 分布处理）。

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2. Notation & Basic Concepts (符号与基本概念)

Population Parameters (总体参数)

• Population 1 mean ${\mu }_1$, standard deviation ${\sigma }_1$.
• 总体1均值 ${\mu }_1$，标准差 ${\sigma }_1$。
• Population 2 mean ${\mu }_2$, standard deviation ${\sigma }_2$.
• 总体2均值 ${\mu }_2$，标准差 ${\sigma }_2$。

Sample Statistics (样本统计量)

• Sample 1: size $n_1$, mean ${\bar{X}}_1$.
• 样本1：容量 $n_1$，样本均值 ${\bar{X}}_1$。
• Sample 2: size $n_2$, mean ${\bar{X}}_2$.
• 样本2：容量 $n_2$，样本均值 ${\bar{X}}_2$。

Parameter of Interest (关注的参数)

• Difference of population means: ${\mu }_1-{\mu }_2$.
• 关注的总体参数：均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$。
• Point estimator: difference of sample means ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$.
• 点估计量：样本均值差 ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$。

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3. Sampling Distribution of ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$ (样本均值差的抽样分布)

Expected Value (期望)

• $E({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)={\mu }_1-{\mu }_2$.
• 样本均值差的期望等于总体均值差，无偏估计。

Standard Error with Known $\sigma$ (已知总体标准差时的标准误)

• ${\sigma }_{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}=\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}$.
• 标准误由两个总体的方差和样本量共同决定。

Shape of Distribution (分布形状)

• If populations are normal or $n_1,n_2$ are large, ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$ is approximately normal.
• 当总体近似正态或样本量足够大时，样本均值差近似服从正态分布，可使用 $z$ 方法。

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4. Confidence Interval for ${\mu }_1-{\mu }_2$ (均值差的置信区间)

General Form (一般形式)

• Point estimate ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$.
• 点估计为样本均值差 ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$。
• Margin of error = critical value $\times$ standard error.
• 误差限 = 临界值 × 标准误。

Formula with Known ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ (已知总体标准差的公式)

• $({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}.$
• 在显著性水平 $\alpha$ 下的 $100(1-\alpha )\%$ 置信区间。

Interpretation (解释)

• If $0$ not in CI → significant difference in means.
• 若区间不包含 $0$，说明两个总体均值存在显著差异。
• Sign of interval tells which population mean is larger.
• 区间整体为正/负，指明哪一个总体均值更大。

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5. ABC Product Life Example – Confidence Interval (ABC 产品寿命示例：置信区间)

Data (数据)

• Sample 1 (ABC): $n_1=120$, ${\bar{X}}_1=275$ min, ${\sigma }_1=15$ min.
• 样本1（ABC）：120 个，均值 275 分钟，标准差 15 分钟。
• Sample 2 (competitor): $n_2=80$, ${\bar{X}}_2=258$ min, ${\sigma }_2=20$ min.
• 样本2（竞争对手）：80 个，均值 258 分钟，标准差 20 分钟。

Computation (计算)

• Point estimate: ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2=17$ min.
• 点估计：均值差 17 分钟。
• Standard error: $\text{SE}\approx 2.62$.
• 标准误约为 2.62。
• 95% CI: $17\pm 1.96\times 2.62=(11.86,22.14)$.
• 95% 置信区间为 $(11.86,22.14)$。

Conclusion (结论)

• CI entirely above $0$ → ABC’s mean life significantly higher.
• 区间整体大于 0，说明 ABC 产品平均寿命显著高于竞争对手。

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6. Hypothesis Tests for ${\mu }_1-{\mu }_2$ (均值差的假设检验)

Three Forms of Hypotheses (三种假设形式)

Left-tailed Test (左尾检验)

• $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\ge D_0$; $H_a:{\mu }_1-{\mu }_2<D_0$.
• 检验总体1均值是否显著小于总体2（或小于假设差值）。

Right-tailed Test (右尾检验)

• $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le D_0$; $H_a:{\mu }_1-{\mu }_2>D_0$.
• 检验总体1均值是否显著大于总体2。

Two-tailed Test (双尾检验)

• $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=D_0$; $H_a:{\mu }_1-{\mu }_2\ne D_0$.
• 检验两总体均值是否存在任何方向上的差异。

z Test Statistic (z 检验统计量)

• $z=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)-D_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}.$
• 标准化样本均值差，与标准正态分布比较。

Decision Rules (决策规则)

• Left-tailed: reject $H_0$ if $z<-z_{\alpha }$.
• 左尾：若 $z<-z_{\alpha }$，拒绝 $H_0$。
• Right-tailed: reject $H_0$ if $z>z_{\alpha }$.
• 右尾：若 $z>z_{\alpha }$，拒绝 $H_0$。
• Two-tailed: reject $H_0$ if $|z|>z_{\alpha /2}$.
• 双尾：若 $|z|>z_{\alpha /2}$，拒绝 $H_0$。

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7. ABC Example – p-value Approach (ABC 示例：p 值法)

Hypotheses (假设)

• $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le 0$; $H_a:{\mu }_1-{\mu }_2>0$.
• 原假设：ABC 不比竞争对手好；备择假设：ABC 平均寿命更长。

Significance Level (显著性水平)

• $\alpha =0.01$.
• 检验在 1% 的显著性水平下进行。

Test Statistic & p-value (统计量与 p 值)

• $z\approx 6.49$ (using same data and SE).
• 计算得到 $z\approx 6.49$。
• p-value $<0.001\ll 0.01$.
• p 值小于 0.001，远小于 0.01。

Decision & Interpretation (决策与解释)

• Since p-value $<\alpha$, reject $H_0$ and support $H_a$.
• 因 p 值小于显著性水平，拒绝原假设，支持备择假设。
• Conclude ABC’s mean life is significantly higher than competitor’s.
• 结论：ABC 产品的平均寿命显著高于竞争对手。

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8. ABC Example – Critical Value Approach (ABC 示例：临界值法)

Critical Value (临界值)

• Right-tailed test, $\alpha =0.01$: $z_{\alpha }=z_{0.01}\approx 2.33$.
• 右尾检验的临界值约为 2.33。

Comparison (比较)

• Observed $z\approx 6.49>2.33=z_{\alpha }$.
• 观测到的 $z$ 明显大于临界值。

Decision (决策)

• $z$ in rejection region → reject $H_0$.
• 检验统计量落入拒绝域，因此拒绝原假设。
• Same conclusion as p-value method.
• 结论与 p 值法完全一致。

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9. TOEFL Practice Example – Setup (托福练习题：设定)

Data (数据)

• Newland University: ${\bar{X}}_1=103$, ${\sigma }_1=15$, $n_1=50$.
• Newland 大学：平均分 103，标准差 15，样本量 50。
• ABC University: ${\bar{X}}_2=96$, ${\sigma }_2=10$, $n_2=50$.
• ABC 大学：平均分 96，标准差 10，样本量 50。
• Significance level: $\alpha =0.05$.
• 显著性水平为 0.05。

Hypotheses (假设)

• $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=0$.
• 原假设：两所大学托福平均成绩无差异。
• $H_a:{\mu }_1-{\mu }_2\ne 0$.
• 备择假设：两校平均成绩存在差异（双尾检验）。

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10. TOEFL Practice Example – Calculation & Conclusion (托福练习题：计算与结论)

Test Statistic (检验统计量)

• Point estimate: ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2=7$.
• 点估计：均值差为 7 分。
• Standard error: $\text{SE}=\sqrt{\frac{15^2}{50}+\frac{10^2}{50}}\approx 2.55$.
• 标准误约为 2.55。
• $z=\frac{7}{2.55}\approx 2.75$.
• 计算得到 $z\approx 2.75$。

Decision (决策)

• Two-tailed, $\alpha =0.05$ → critical values $\pm 1.96$.
• 双尾检验的临界值为 $\pm 1.96$。
• $|z|\approx 2.75>1.96$ → reject $H_0$.
• 因 $|z|$ 大于 1.96，拒绝原假设。

Interpretation (解释)

• Significant difference in mean TOEFL scores between Newland and ABC.
• 两所大学托福平均成绩存在显著差异。
• Since Newland mean is higher, Newland students perform better on average.
• 由于 Newland 的均值更高，说明其学生托福成绩平均表现更好。

CI Connection (置信区间联系)

• 95% CI for ${\mu }_1-{\mu }_2$: $7\pm 1.96\times 2.55\approx (2.0,12.0)$.
• 95% 置信区间约为 $(2.0,12.0)$，不含 0，与假设检验结论一致。

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