相关例题

Q21 — Advertising Effectiveness and Sales Prediction（广告效果与销量预测）

Question (EN): A retail company studies whether the number of online advertisements ($x$) influences weekly sales ($y$, in thousands of dollars). The following sample data are collected:

$x$ (Ads)	$y$ (Sales)
$1$	$14$
$2$	$18$
$3$	$27$
$1$	$17$
$3$	$24$

Additional information:

• $\bar{x}=2$, $\bar{y}=20$
• $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=20$
• $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=4$

Tasks:

1. Compute the estimated simple linear regression equation $\hat{y}=b_0+b_{1}x$.
2. Interpret the slope $b_1$ in a business context.
3. Given $R^2=0.8772$, compute the correlation coefficient $r$ and interpret its meaning.

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题目（中文）：
某零售公司研究线上广告投放次数 ($x$) 是否会影响每周销售额 ($y$，单位：千美元)。
样本数据如下表所示。

已知：

• $\bar{x}=2$，$\bar{y}=20$
• $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=20$
• $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=4$

要求：

1. 计算简单线性回归方程 $\hat{y}=b_0+b_{1}x$。
2. 从商业角度解释斜率 $b_1$ 的含义。
3. 已知 $R^2=0.8772$，计算相关系数 $r$ 并解释其意义。

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Step 1: Estimate $b_1$

$b_1=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{20}{4}=5$

Step 2: Estimate $b_0$

$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=20-5(2)=10$

Estimated Regression Equation

$\hat{y}=10+5x$

Step 3: Correlation Coefficient

$r=(\text{sign of }{b}_1)\sqrt{R^2}=+\sqrt{0.8772}=0.9366$

Quantity	Formula	Value
$b_1$	$\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$	$5$
$b_0$	$\bar{y}-b_1\bar{x}$	$10$
$R^2$	$\frac{SSR}{SST}$	$0.8772$
$r$	$(\text{sign of }{b}_1)\sqrt{R^2}$	$0.9366$

结论：
每增加一次广告投放，平均销售额增加约 $5$（千美元），广告与销量之间存在极强的正线性关系。

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思路 / 解析：

• 使用最小二乘法公式计算斜率 $b_1$，衡量广告的边际影响。
• 再用 $b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}$ 得到截距，从而确定回归方程。
• 决定系数 $R^2$ 衡量模型解释能力，相关系数 $r$ 衡量线性关系强度。
• 本题中 $R^2$ 和 $r$ 都很高，说明广告投放对销量具有显著的线性解释力，但不必然代表因果关系。

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Q22 — Multi-Observation Regression Analysis (Corrected Version)（多观测值回归分析｜纠错重出版）

Question (EN): A regional e-commerce company analyzes whether weekly digital advertising exposure ($x$, measured as the number of campaigns) affects weekly revenue ($y$, in thousands of dollars). A random sample of $n=8$ weeks is collected as follows:

$x$ (Campaigns)	$y$ (Revenue)
$1$	$12$
$2$	$18$
$3$	$25$
$4$	$28$
$2$	$20$
$5$	$35$
$4$	$30$
$6$	$40$

Tasks:

1. Use the least squares method to estimate the simple linear regression equation $\hat{y}=a+bx$.
2. Interpret the slope $b$ in a business context.
3. Compute the coefficient of determination $R^2$.
4. Compute the correlation coefficient $r$ and comment on the strength of the linear relationship.
5. Briefly evaluate whether the model is appropriate for prediction.

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题目（中文）：
某区域性电商公司研究每周数字广告投放次数（$x$，广告活动数量）是否会影响每周收入（$y$，单位：千美元）。
随机抽取 $8$ 周的数据如上表所示。

要求：

1. 使用最小二乘法估计简单线性回归方程 $\hat{y}=a+bx$。
2. 从商业角度解释斜率 $b$ 的含义。
3. 计算决定系数 $R^2$。
4. 计算相关系数 $r$ 并评价线性关系强度。
5. 简要判断该模型是否适合用于预测。

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Step 1: Estimated Regression Equation (from TI LinReg)

Using a graphing calculator (TI LinReg $ax+b$):

$a=5.433962264$,
$b=7.660377358$

Estimated Regression Equation

$\hat{y}=5.434+7.660x$

Step 2: Coefficient of Determination

$R^2=0.98799$

Step 3: Correlation Coefficient

$r=+\sqrt{R^2}=+\sqrt{0.98799}=0.99398$

Quantity	Formula	Value
$b$	slope from LinReg	$7.6604$
$a$	intercept from LinReg	$5.4340$
$R^2$	$\frac{SSR}{SST}$	$0.9880$
$r$	$(\text{sign of }b)\sqrt{R^2}$	$0.9940$

结论：
每增加一次广告投放，平均每周收入增加约 $7.66$（千美元），广告投放与收入之间存在极强的正线性关系，模型拟合度极高。

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思路 / 解析：

• 使用原始样本数据通过计算器执行最小二乘回归（LinReg），直接得到 $a$ 与 $b$，这是考试与实务中最可靠的方法。
• 斜率 $b$ 衡量广告的边际收益，数值较大说明广告效果显著。
• $R^2$ 接近 $1$ 表明模型解释了绝大部分收入波动；$r$ 接近 $1$ 表示极强的正线性相关。
• 需要注意：即使 $R^2$ 与 $r$ 很高，也不能据此断言因果关系，预测时仍需考虑样本量与潜在遗漏变量。