相关例题

Lecture 9 — Advanced Applications (高阶应用题)

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Q1 — Advanced: Cross-Selling Uplift vs. Cannibalization（交叉销售提升 vs 自相残杀）

Question (EN): A retailer offers an add-on warranty at checkout. Historic data:

• If a customer buys the premium laptop (event $P$), probability they also buy the warranty (event $W$) is $P(W\mid P)=0.42$.
• If a customer buys the standard laptop ($S$), $P(W\mid S)=0.22$.
• Current mix: $P(P)=0.35,P(S)=0.65$. A new policy nudges premium by showing a comparison card, raising $P(P)$ to $0.45$ but reducing $P(W\mid P)$ to $0.36$ because customers feel “already protected.” Should the retailer implement the policy if the expected warranty take-rate must not fall?

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题目（中文）： 某零售商在结账时销售延保。历史数据如下：

• 高端机（事件 $P$）购买延保（事件 $W$）的概率为 $P(W\mid P)=0.42$；
• 标准机（$S$）为 $P(W\mid S)=0.22$；
• 当前占比 $P(P)=0.35,P(S)=0.65$。 新政策使 $P(P)$ 提升至 $0.45$，但 $P(W\mid P)$ 降至 $0.36$。若总体延保率不能下降，应否实施？

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新政策后总体延保率：$0.45\times 0.36+0.55\times 0.22=0.277$； 原为 $0.35\times 0.42+0.65\times 0.22=0.29$。 结论：不要实施（总体保修率从 $0.29$ 降到 $0.277$）。

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思路： 比较总体加权平均： $\text{Old}=P(P)P(W\mid P)+P(S)P(W\mid S)=0.29$； $\text{New}=0.45\times 0.36+0.55\times 0.22=0.277$。 虽高端机占比上升，但其延保率下降导致总体下滑（交叉销售被自相残杀抵销）。

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Q2 — Advanced: Supplier Quality Signal（供应商质量信号）

Question (EN): A buyer receives a “Pass/Fail” inspection signal ($B$) on batches from two suppliers ($A_1,A_2$). Priors: $P(A_1)=0.6,P(A_2)=0.4$. Signal characteristics: $P(B=\text{Pass}\mid A_1)=0.9,P(B=\text{Pass}\mid A_2)=\mathrm{0.7.}$ A batch fails. Should the buyer switch future orders to $A_2$ if “post-fail” defect risk from $A_i$ is proportional to $(1-P(\text{Pass}\mid A_i))$?

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题目（中文）： 买方检测两个供应商 $A_1,A_2$ 的产品，检验信号 $B$ 结果为“通过/失败”。先验概率：$P(A_1)=0.6,P(A_2)=0.4$。 检验通过率：$P(\text{Pass}\mid A_1)=0.9,P(\text{Pass}\mid A_2)=0.7$。 若一批未通过，是否应将后续订单转向 $A_2$？

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$$P(A_1\mid \text{Fail})=\frac{0.6\times 0.1}{0.6\times 0.1+0.4\times 0.3}=0.333,P(A_2\mid \text{Fail})=\mathrm{0.667.}$$

$A_2$ 的失败后风险更高（$0.3$ 对 $0.1$）。 结论：不应转向 $A_2$，应减少 $A_2$ 份额。

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贝叶斯原理： 失败事件与质量差的供应商更相容，后验偏向 $A_2$。 若风险与 $(1-P(\text{Pass}\mid A_i))$ 成正比，转向 $A_2$ 反而增加总体缺陷风险。

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Q3 — Advanced: Fraud Queue Triage（欺诈分流优先级）

Question (EN): A bank’s fraud model flags 4% of transactions. True fraud rate $P(F)=0.006$. Model metrics: TPR $=0.88$, FPR $=0.035$. Investigators can process 2% of transactions daily. Should the top 2% scores form Tier-1 queue?

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题目（中文）： 银行欺诈模型标记 4% 的交易；真实欺诈率 $0.6$；TPR $0.88$，FPR $0.035$。 每日人工仅能处理 2% 交易。是否应将分数最高的前 2% 设置为一级复核？

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是。前 2% 的 P(F\mid \text{Top2%}) 显著高于总体，资源有限下最大化命中率。

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思路： 模型分数与后验单调正相关。 选择最高分 2% 等价于最大化正预测值（PPV），在容量约束下提升每次调查收益。

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Q4 — Advanced: AB Test with Spillovers（A/B 溢出效应）

Question (EN): Open rate $P(O\mid A)=0.32$, $P(O\mid B)=0.29$. However, household sharing causes within-group correlation. Can we use a binomial test to compare rates?

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题目（中文）： A 组打开率 $0.32$，B 组 $0.29$。家庭内溢出导致样本不独立。能否直接用二项检验？

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不能。家庭相关性导致有效样本量下降，二项检验 $p$ 值偏乐观。

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理由： 独立性假设失效。应聚合到家庭层面（群集分析）或使用聚类稳健标准误。

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Q5 — Advanced: Medical Screening Threshold（筛查阈值）

Question (EN): Disease prevalence $0.8$. Test A: TPR $=0.92$, FPR $=0.02$ (cost $10).TestB:TPR$=0.85$,FPR$=0.005$(cost$18). Goal: PPV ≥ 30% with lowest cost. Which test or sequence should be used?

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题目（中文）： 疾病基率 $0.8$。测试 A：TPR $0.92$，FPR $0.02$；测试 B：TPR $0.85$，FPR $0.005$；成本分别为 $10与$18。 目标：PPV ≥ 30%，且成本最低。应如何选择？

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单独使用 A 或 B 均不足。采用 A 初筛 + B 复核：两步阳性 PPV ≈ 0.62，成本低于全面使用 B。

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单测： ${\text{PPV}}_A=\frac{0.0092}{0.0092+0.0196}=32$， ${\text{PPV}}_B=\frac{0.0068}{0.0068+0.00496}=57.8$。 组合：误报概率 $0.02\times 0.005=0.0001$ 极低，总期望成本低且满足 PPV 约束。

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Q6 — Advanced: Hiring Test Bias（招聘测试偏差）

Question (EN): Two positions use test $T$ to predict success $S$. Overall $P(S\mid T^{+})=0.62$. For candidates with internship ($I$): $P(S\mid T^{+},I)=0.48$; for without internship ($I^c$): $P(S\mid T^{+},I^c)=0.70$. Should HR down-weight the test for $I$ group?

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题目（中文）： 两岗位均用测试 $T$ 预测成功 $S$。总体 $P(S\mid T^{+})=0.62$。 有实习经历 ($I$)：$P(S\mid T^{+},I)=0.48$；无实习 ($I^c$)：$P(S\mid T^{+},I^c)=0.70$。 HR 是否应对有实习者降低测试权重？

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是。对于有实习经历者，测试预测力明显下降，应下调权重或采用分组阈值。

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分析： $(I)$ 改变测试有效性（条件依赖结构变化）。 分层 Bayes 或分组阈值可防止 Simpson 悖论式误判，提升公平性。

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Q7 — Advanced: Marketing Lift Under Base-Rate Shift（基率漂移下的提升评估）

Question (EN): Last year: $P(Y=1\mid \text{treated})=0.11$, $P(Y=1\mid \text{control})=0.08$. This year, natural base rate rises to $0.12$, expected treated rate $0.15$. Can we claim “same 3% lift”?

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题目（中文）： 去年转化率：实验组 $0.11$，对照组 $0.08$。 今年自然基率升至 $0.12$，实验组预计 $0.15$。 是否还能称“提升 3 个百分点”？

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不应简单复用绝对提升。应用相对提升： ${\text{RR}}_{\text{new}}=0.15/0.12=1.25$（去年 $\text{RR}=1.375$），效果减弱。

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说明： 绝对差受基率影响大，相对提升（RR/OR）更稳健。 当基率升高时，同样机制带来较小相对效应。

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Q8 — Advanced: Inventory Recall Risk（召回风险）

Question (EN): Recall probability $P(R)=0.03$. If recall and undetected at factory, major claim $L$ occurs with $P(L\mid R,D^{-})=0.25$. Detection TPR $P(D^{+}\mid R)=0.9$, FPR $P(D^{+}\mid R^c)=0.04$. Find monthly expected claim rate.

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题目（中文）： 零部件召回率 $P(R)=0.03$。 若召回且漏检（$D^{-}$），则发生重大索赔 $L$ 的概率为 $0.25$。 检测阳性率 $P(D^{+}\mid R)=0.9$，误报率 $P(D^{+}\mid R^c)=0.04$。 求月度期望索赔率。

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漏检率 $P(D^{-}\mid R)=0.1$。 $P(L)=0.03\times 0.1\times 0.25=0.00075$（$0.075$）。

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步骤： 仅在 $(R)$ 且 $(D^{-})$ 时发生 $L$。 使用乘法法则求联合，再乘以条件损失概率。

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Q9 — Advanced: Bonus Plan Under No-Independence（非独立条件下的奖金计划）

Question (EN): Salespersons A and B have correlated success events: $P(A\cap B)>P(A)P(B)$. If bonus pricing assumes independence, will budget be underestimated?

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题目（中文）： 销售员 A、B 的成交事件正相关：$P(A\cap B)>P(A)P(B)$。 若奖金预算基于独立假设，是否低估支出？

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会。正相关提高“同时成功”概率，独立假设低估联合概率，从而低估预算。

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检验： 比较 $\hat{P}(A\cap B)$ 与 $\hat{P}(A)\hat{P}(B)$。 若前者更大，且奖金触发条件为“双人成功”，应上调预算。

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Q10 — Advanced: Vendor Blacklist Decision（供应商拉黑决策）

Question (EN): Report probability: $P(R\mid U)=0.6$, $P(R\mid C)=0.1$. Prior $P(U)=0.15$. Blacklist only if $P(U\mid R)\ge 0.4$. Should we blacklist?

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题目（中文）： 不合规供应商被举报的概率 $P(R\mid U)=0.6$；合规供应商 $P(R\mid C)=0.1$； 先验 $P(U)=0.15$。若 $P(U\mid R)\ge 0.4$ 才拉黑。是否满足？

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$$P(U\mid R)=\frac{0.6\times 0.15}{0.6\times 0.15+0.1\times 0.85}=\frac{0.09}{0.175}\approx \mathrm{0.514.}$$

结论：应拉黑。

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Bayes 更新： 分子为“不合规且被举报”，分母为“被举报总体”。 后验 $>0.4$，符合拉黑标准。

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Q11 — Advanced: Early-Warning KPI（预警指标选择）

Question (EN): Project delay $P(D)=0.15$. Signals $S_1$ (missed meetings) and $S_2$ (risk items >5). Observed $(S_1=1,S_2=1)$. If signals not conditionally independent, which threshold rule yields higher PPV: “any = 1” or “both = 1”?

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题目（中文）： 项目延误先验 $15$。 两个预警信号：$S_1$（缺席周会）、$S_2$（风险项>5）。 若二者条件非独立，哪种规则 PPV 更高？“任一为1”还是“两者同时为1”？

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通常“联合阈值”（两者同时为1）PPV 更高，召回虽降但精度更优。

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依据： $\text{PPV}\propto P(S_1,S_2\mid D)P(D)$。 若 $(S_1,S_2)$ 在 $D$ 下正相关，联合筛选显著提升后验概率。

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Q12 — Advanced: Price-Match Policy Risk（价格保护政策）

Question (EN): Competitor discount event $C$ correlates with promotion week $M$: $P(C\mid M)>P(C)$. You refund price difference if competitor discounts. If you estimate cost using overall $P(C)$, is it biased?

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题目（中文）： 若竞争者降价事件 $C$ 与促销周 $M$ 正相关（$P(C\mid M)>P(C)$）。 公司承诺“遇降价就补差”。若仅用总体 $P(C)$ 估算成本，会否偏差？

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会偏低。促销周销量高且 $P(C\mid M)$ 更大，忽略条件结构将低估成本。

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期望成本应为：$\mathbb{E}[\text{Cost}]={\sum }_{m}P(M=m)\cdot \text{Orders}(m)\cdot P(C\mid m)\cdot \Delta p$。 独立假设失真导致低估。

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Q13 — Advanced: Cold-Start Personalization（冷启动个性化）

Question (EN): New users ($N$) have base CTR $P(Y)=0.02$. Model trained on old users ($O$): $P(Y\mid S^{+})=0.12$. Can we directly transfer threshold to $N$?

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题目（中文）： 新用户点击率基率 $0.02$，模型基于老用户训练，$P(Y\mid S^{+})=0.12$。 能否直接迁移阈值？

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不可。基率下降会使 $P(Y\mid S^{+})$ 显著降低，应重新定标阈值。

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Bayes： $P(Y\mid S^{+})\propto P(S^{+}\mid Y)P(Y)$。 当基率下降时，后验随之下降，需重新校准。

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Q14 — Advanced: Location Bias in NPS（NPS 的地点偏差）

Question (EN): High NPS stores are located in high-income areas ($H$). If we ignore $H$, results may be biased. How can probability framework avoid this?

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题目（中文）： 门店 NPS 高，但位于高收入区 ($H$)。若未控制 $H$，比较结果偏差。 如何用概率框架避免？

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进行分层比较：计算 $P(\text{High NPS}\mid \text{Store},H)$，再标准化加权。

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原理： 控制混杂变量 $H$，使用分层分析或倾向得分分层，防止 Simpson 悖论。

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Q15 — Advanced: Churn Save-Offer Targeting（流失挽留优惠）

Question (EN): Churn prior $8$. Model’s top 10% have $P(C\mid \text{Top})=0.25$. Offer acceptance $P(O\mid C,\text{Top})=0.4$. If non-churners react negatively, how should we target?

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题目（中文）： 流失率 $8$。模型 Top10% 中 $P(C)=0.25$，接受优惠概率 $P(O\mid C)=0.4$。 若非流失者接受优惠会降低未来付费意愿，应如何决策？

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采用双阈值策略：Top10% 后再用 Uplift 模型筛选净收益人群。

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目标： 最大化 $\Delta P(\text{留存}\mid \text{offer})$。 比较 $P(C\mid \text{offer})$ 与 $P(C\mid \text{no offer})$ 差异，估计真实挽留增益。

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Q16 — Advanced: Warranty Reserve Under Evidence Update（基于证据更新的保修准备）

Question (EN): Initial return rate $P(R)=2.5$. Alert $B$: $P(B\mid R)=0.4$, $P(B\mid R^c)=0.05$. If $B$ occurs, compute posterior $P(R\mid B)$.

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题目（中文）： 初始退货率 $2.5$。收到告警 $B$：$P(B\mid R)=0.4,P(B\mid R^c)=0.05$。 若出现 $B$，计算后验 $P(R\mid B)$。

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$$P(R\mid B)=\frac{0.025\times 0.4}{0.025\times 0.4+0.975\times 0.05}=\frac{0.01}{0.05875}=\mathrm{0.17.}$$

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解释： 告警显著提高退货概率（从 2.5%→17%），应上调该批次保修准备金。

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Q17 — Advanced: Safety Stock Under Joint Risk（联合风险下安全库存）

Question (EN): Two warehouses have correlated demand spikes $X,Y$. If safety stock computed as $z\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$ assuming independence, under positive covariance is it underestimated?

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题目（中文）： 两仓库需求尖峰事件相关。 若假设独立计算安全库存 $SS=z\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$，在正相关下是否低估？

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是。应为 $SS=z\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2+2\mathrm{Cov}(X,Y)}$。

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联合方差公式： $\mathrm{Var}(X+Y)={\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2+2\mathrm{Cov}(X,Y)$。 正相关使并发需求高峰更可能，需增库存。

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Q18 — Advanced: Campaign Attribution Paradox（归因悖论）

Question (EN): Clicks ($K$) and purchases ($Y$) are correlated due to latent intent ($I$). Thus $P(Y\mid K)$ overstates causal effect. How to obtain unbiased incremental lift?

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题目（中文）： 点击 ($K$) 与购买 ($Y$) 相关，但存在未观测变量 ($I$)。 导致 $P(Y\mid K)$ 高估因果效果。 如何获得无偏的增量效果？

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使用随机化曝光或工具变量切断 $I\to K$ 路径；或用双重稳健估计（PS+Outcome）。

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随机化令 $K\perp I$，得到近似 $P(Y\mid \text{do}(K))$。 倾向评分 + 结果模型可降低混杂偏差。

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Q19 — Advanced: Two-Stage Audit Policy（两阶段审计）

Question (EN): Fraud prior $1.2$. Rule engine (R): TPR $0.75$, FPR $0.06$. ML model (M): on $R^{+}$ subset, TPR $0.8$, FPR $0.2$. Manual review only if both positive. What percent of all invoices are reviewed?

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题目（中文）： 欺诈率 $1.2$。规则引擎 (R)：TPR $0.75$，FPR $0.06$； 机器学习模型 (M) 在 $R^{+}$ 中 TPR $0.8$，FPR $0.2$。 若两阶段均阳性才复核，占比多少？

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$$P(R^{+})=0.012\times 0.75+0.988\times 0.06=0.0678$$ $${\pi }_R=\frac{0.012\times 0.75}{0.0678}=0.1329$$ $$P(\text{Review})=0.0678\times (0.8\times 0.1329+0.2\times 0.8671)=0.0678\times 0.306=0.0207$$

即复核约占 $2.07$。

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思路： ① 求进入第二阶段比例 $P(R^{+})$； ② 计算该子集新

基率 ${\pi }_R$；

③ 代入第二阶段 TPR/FPR 求总体阳性率。

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Q20 — Advanced: Value of Negative Recommendation（负面建议的价值）

Question (EN): After a “negative” recommendation ($B$), approval posterior $P(A_1\mid B)=0.34$. If preparing for relocation costs $200k(lostifrejected)butnotpreparingcosts$500k if approved, what is optimal?

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题目（中文）： 收到负面建议后批准后验 $P(A_1\mid B)=0.34$。 若提前准备成本 $200k（若未批浪费），不准备则若批准多花$500k。 如何决策？

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准备的期望成本：$0.66\times 200k=132k$； 不准备：$0.34\times 500k=170k$。 应准备搬迁（期望损失更低）。

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贝叶斯决策： 用更新后后验最小化期望损失。 虽批准概率下降，准备方案仍具更低期望成本。

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