Quiz 1.4 （ 样卷预测 ）

Q1 — Categorical Frequency Table （分类数据的频数表）

Question (EN): A café surveyed $20$ customers’ ratings (Excellent, Good, Average, Below Average, Poor). Build the frequency, relative frequency, and percent frequency table.

Data: Excellent, Good, Good, Average, Good, Average, Below Average, Average, Good, Poor, Excellent, Good, Good, Average, Below Average, Poor, Good, Average, Excellent, Good.

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题目（中文）：某咖啡馆对 $20$ 位顾客的总体体验进行评价（优秀、良好、一般、较差、差）。请完成频数、相对频数、百分比频数表。

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等级	频数	相对频数	百分比
Excellent	$3$	$0.15$	$15$
Good	$8$	$0.40$	$40$
Average	$5$	$0.25$	$25$
Below Average	$2$	$0.10$	$10$
Poor	$2$	$0.10$	$10$
合计	$20$	$1.00$	$100$

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定义： $\text{相对频数}=\frac{f_i}{N},\text{百分比}=\frac{f_i}{N}\times 100$ 步骤： 计数各等级 $f_i$，计算 $\frac{f_i}{N}$ 与百分比。 结论： Good 占比 $40$，为众数类别。

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Q2 — Quantitative Grouping （定量数据分组频数）

Question (EN): For $40$ tire-replacement costs (USD), use $5$ classes (width $\approx 10$) and report cumulative .

Data: $55,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,68,69,70,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,87,88,89,90,91,92,93,95,96$.

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题目（中文）：对 $40$ 个轮胎更换费用（美元）按 $5$ 组、组距约 $10$ 分组，给出分组频数表与累计百分比。

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组距 ($)	频数	相对频数	累计百分比
$55$–$64$	$10$	$0.25$	$25$
$65$–$74$	$10$	$0.25$	$50$
$75$–$84$	$10$	$0.25$	$75$
$85$–$94$	$8$	$0.20$	$95$
$95$–$104$	$2$	$0.05$	$100$
合计	$40$	$1.00$	$100$

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设定： $\min =55$, $\max =96$, $k=5\Rightarrow w\approx \frac{96-55}{5}\approx 8.2$，取等宽 $w=10$。 计算关系： 相对频数 $=\frac{f_i}{N}$；累计百分比为逐组累加。

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Q3 — Union & Independence （并事件与独立性）

Question (EN): Two projects ($A,B$) have the joint probabilities shown below. Find (a) $P(A)$ (b) $P(B)$ (c) $P(A\cup B)$ (d) Are $A$ and $B$ independent?

	B Success	B Fail	Total
A Success	$0.25$	$0.35$	$0.60$
A Fail	$0.15$	$0.25$	$0.40$
Total	$0.40$	$0.60$	$1.00$

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题目（中文）：如上联合概率表。求：(a) $P(A)$ (b) $P(B)$ (c) $P(A\cup B)$ (d) $A,B$ 是否独立？

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$P(A)=0.60$, $P(B)=0.40$ $P(A\cup B)=0.25+0.35+0.15=0.75$ $P(A\cap B)=0.25$, $P(A)P(B)=0.24\Rightarrow \text{不独立}$

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加法公式： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。 独立性判定： 若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 则独立；此处 $0.25\ne 0.24$，不独立。

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Q4 — Conditional Probability （条件概率）

Question (EN): Given the joint table below, find (a) $P(A|B)$ (b) $P(B|A)$ (c) Independence?

	$B$	$B^c$	Total
$A$	$0.30$	$0.10$	$0.40$
$A^c$	$0.20$	$0.40$	$0.60$
Total	$0.50$	$0.50$	$1.00$

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题目（中文）：给定上表，求：(a) $P(A|B)$ (b) $P(B|A)$ (c) 是否独立？

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$P(A|B)=\frac{0.30}{0.50}=0.60$, $P(B|A)=\frac{0.30}{0.40}=0.75$, $P(A)P(B)=0.40\times 0.50=0.20\ne 0.30=P(A\cap B)\Rightarrow \text{不独立}$

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定义： $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$。 判定： 若 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，则独立；此题不满足。

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Q5 — Joint / Marginal / Conditionals （联合 / 边际 / 条件概率）

Question (EN): Defect data:

Type	Defect	Non-defect	Total
A	$0.06$	$0.24$	$0.30$
B	$0.08$	$0.62$	$0.70$
Total	$0.14$	$0.86$	$1.00$

Find (a) $P(B\cap D)$ (b) $P(D|B)$ (c) $P(B|D)$.

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题目（中文）：如上联合表，求：(a) $P(B\cap D)$ (b) $P(D|B)$ (c) $P(B|D)$。

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$P(B\cap D)=0.08$, $P(D|B)=\frac{0.08}{0.70}=0.1143$, $P(B|D)=\frac{0.08}{0.14}=0.5714$.

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关系式： $P(D|B)=\frac{P(B\cap D)}{P(B)}$, $P(B|D)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}$。 含义： 次品中约 $57.14$ 来自 $B$。

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Q6 — Bayes’ Theorem（贝叶斯定理）

Question (EN): Prior $P(D)=0.05$, sensitivity $P(+|D)=0.90$, false positive $P(+|D^c)=0.10$. Compute $P(D|+)$.

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题目（中文）：已知 $P(D)=0.05$，$P(+|D)=0.90$，$P(+|D^c)=0.10$。求 $P(D|+)$。

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$P(D|+)=\frac{P(D),P(+|D)}{P(D),P(+|D)+P(D^c),P(+|D^c)}=\frac{0.05\times 0.90}{0.05\times 0.90+0.95\times 0.10}=0.321$

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由于先验 $P(D)$ 较小且存在非零 $P(+|D^c)$，后验 $P(D|+)$ 仅为约 $32.1$，体现“基准率”影响。

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Q7 — Data Types & Scales（数据类型与测量尺度）

Question (EN): Classify variables by type and scale: Gender, Department, Monthly Sales ($) , Performance Rating.

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题目（中文）：判定变量的类型与尺度：性别、部门、销售额（$） 、绩效等级。

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变量	类型	尺度
Gender	Categorical	Nominal
Department	Categorical	Nominal
Monthly Sales	Quantitative	Ratio
Performance Rating	Categorical	Ordinal

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名义（Nominal）：无序标签；序数（Ordinal）：有序等级；区间（Interval）：等距无真零；比率（Ratio）：等距且有真零（可比较倍数）。销售额属比率尺度。

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Q8 — Population vs. Sample（总体与样本）

Question (EN): GPA of $50$ randomly chosen business students is used to study all business students. Identify population & sample; descriptive or inferential?

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题目（中文）：用随机抽取的 $50$ 位商科学生 GPA 研究所有商科学生。识别总体与样本，并判断统计类型。

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Population：全部商科学生；Sample：这 $50$ 位学生；类型：推断统计（Inferential）。

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从样本推出总体属于推断统计；若只汇总样本本身为描述统计。

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Q10 — Cross-sectional vs. Time-series（横截面与时间序列）

Question (EN): $①$ Revenues of $50$ stores across China in Jan $2025$. $②$ One Shanghai store’s annual revenue from $2020$–$2025$. Classify and explain.

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题目（中文）：$①$ $2025$ 年 $1$ 月全国 $50$ 家门店当月收入；$②$ 上海某门店 $2020$–$2025$ 年年度收入。分类并解释。

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$①$ Cross$-$sectional（横截面）；$②$ Time$-$series（时间序列）。

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横截面：同一时点、多个对象的对比；时间序列：单一对象随时间变化（趋势/季节/周期）分析。

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Q11 — Data Sources & Study Types（数据来源与研究方式）

Question (EN): For analyzing purchases, classify each as internal/external & observational/experimental: (a) Downloading company transaction data. (b) Purchasing a market research dataset. (c) Running an in-store survey.

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题目（中文）：判定以下方案的内部/外部来源与观察/实验： (a) 下载公司内部交易数据；(b) 购买第三方调研数据；(c) 门店问卷。

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(a) 内部 / 观察；(b) 外部 / 观察；(c) 内部 / 依设计可为实验或观察。

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是否操纵自变量 $\Rightarrow$ 实验或观察； 数据来源于组织内外 $\Rightarrow$ 内部或外部。 门店问卷若包含干预设计（如促销试验）可视为实验，否则为观察。

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Q12 — Data Errors & Consistency（数据错误与一致性检查）

Question (EN): Employee data (Age, Monthly Salary $, Years of Experience):

Employee ID	Age	Salary($)	Experience
$001$	$25$	$3500$	$2$
$002$	$38$	$4800$	$12$
$003$	$20$	$18000$	$1$
$004$	$50$	$5500$	$28$

Identify potential error(s) and suggest detection/correction.

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题目（中文）：如上员工信息。识别可能的数据错误并给出检测/修正方法。

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异常：员工 $003$ 的薪资为 $18,000，显著异常（可能录入错误）。检测：一致性（薪资与工龄）、范围阈值、箱线图或$3\sigma$ 检验。 修正：回查原始记录，校正或剔除并保留数据修改痕迹。

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可利用逻辑校验（如“工龄小薪资高”矛盾）与统计检测（箱线图、标准差法）识别离群。 修正应遵循“验证 → 修正 → 记录”流程以确保可追溯性。

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Q13 — Categorical Frequencies & Percentages（分类频数与百分比）

Question (EN): For $20$ hotel-stay ratings (same composition as Q1, any order), build the frequency & percent table; identify the most common rating.

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题目（中文）：对 $20$ 份住店评价（与 Q1 相同分布），构建频数/百分比表，并指出最常见等级。

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与 Q1 相同：Good ($40$) 为最常见等级；完整频数表见 Q1。

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可使用数据透视表快速得到频数与百分比； 众数类别可指示顾客总体满意度与改进优先方向。

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Q14 — Outlier & Choice of Center（极端值与集中趋势选择）

Question (EN): Apartment rents ($):$(450,460,470,480,490,500,510,520,530,900)$. Compute mean/median/mode; decide which best represents “typical” rent.

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题目（中文）：房租数据如上。计算均值/中位数/众数，并判断“典型房租”应采用哪个指标。

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$\bar{x}=\frac{5310}{10}=531$, $\text{Median}=\frac{490+500}{2}=495$, $\text{Mode：无}$. 典型值： 选 中位数（Median）。

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数据右偏，极端高值 $900$ 拉高均值 $\bar{x}$； 中位数受极端值影响小，更能反映“典型”水平。

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Q15 — Range, Variance, Standard Deviation（极差、方差、标准差）

Question (EN): Bonuses ($):$(100,120,130,150,200)$. Compute range, sample variance, sample standard deviation; interpret variability.

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题目（中文）：奖金数据如上。计算极差、样本方差、样本标准差并解释离散程度。

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$\bar{x}=\frac{100+120+130+150+200}{5}=140$, $\text{Range}=200-100=100$, $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=(-40{)}^2+(-20{)}^2+(-10{)}^2+10^2+60^2=5800$, $s^2=\frac{5800}{5-1}=1450$, $s=\sqrt{1450}=38.08$. 解释： 平均离差约 $38，波动中等。

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公式： $s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$，$s=\sqrt{s^2}$。 含义： 极差给出总体跨度，标准差反映平均离散程度，可用于不同数据集波动性的比较。

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