Quiz 2.1 （应用题）

📘《MGS 2150 商业统计 — Final Exam Prediction（数学推导版）》

Q1 — Discrete Expected Value & Variance（离散分布：期望与方差）

Question (EN): A firm tracks the weekly demand for electric fans. The probability distribution is:

$x$ (units)	0	1	2	3	4
$f(x)$	0.12	0.18	0.30	0.25	0.15

Compute:

1. $E(X)$
2. $\mathrm{Var}(X)$ and $\sigma$
3. $P(X\ge 3)$

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商店记录风扇每周需求的概率分布如上。

1. 计算 $E(X)$
2. 计算 $\mathrm{Var}(X)$ 与标准差 $\sigma$
3. 计算 $P(X\ge 3)$

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(1) 期望值 $E(X)$

$$E(X)=\sum xf(x)$$ $$=0(0.12)+1(0.18)+2(0.30)+3(0.25)+4(0.15)=2.13$$

(2) 方差 $\mathrm{Var}(X)$

$$\mathrm{Var}(X)=\sum (x-\mu {)}^{2}f(x)$$

逐项计算： [ (0-2.13)^2(0.12)=0.543
(1-2.13)^2(0.18)=0.229
(2-2.13)^2(0.30)=0.00507
(3-2.13)^2(0.25)=0.188
(4-2.13)^2(0.15)=0.503 ] 得：

$$\mathrm{Var}(X)=1.468$$ $$\sigma =\sqrt{1.468}=1.21$$

(3) $P(X\ge 3)$

$$P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)=0.25+0.15=0.40$$

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期望：$E(X)=\sum xf(x)$。 方差：$\sum (x-\mu {)}^{2}f(x)$。 尾部分布：把 $x=3,4$ 的概率加起来即可。

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Q2 — Binomial Probability（二项分布）

Question (EN): A component has a defect probability $p=0.07$. 20 items are selected.

Compute:

1. $P(X=2)$
2. $P(X\le 1)$
3. $E(X)$

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次品率 $p=0.07$，抽取 20 个。

1. 计算 $P(X=2)$
2. 计算 $P(X\le 1)$
3. 计算期望次品数。

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令 $X\sim \mathrm{Bin}(20,0.07)$。

(1) $P(X=2)$

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)(0.07{)}^2(0.93{)}^{18}$$ $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$$

所以：

$$P(X=2)=190(0.0049)(0.93^{18})$$

（这是最终数学表达式）

(2) $P(X\le 1)$

$$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)$$ $$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0}\right)(0.07{)}^0(0.93{)}^{20}=0.93^{20}$$ $$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)(0.07)(0.93{)}^{19}=20(0.07)(0.93^{19})$$

(3) 期望值

$$E(X)=np=20(0.07)=1.4$$

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二项分布概率： $P(X=x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x(1-p{)}^{n-x}$。 $P(X\le 1)$ 必须写成 $P(0)+P(1)$。 期望永远是 $np$。

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Q3 — Poisson Process（泊松过程）

Question (EN): Customers arrive at rate $\lambda =8$ per hour.

Compute:

1. $P(X=5)$
2. $P(X>10)$
3. Expected arrivals in 30 minutes

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顾客到达率 $\lambda =8$/小时。

1. $P(X=5)$
2. $P(X>10)$
3. 半小时期望到达数。

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令一小时到达数 $X\sim \mathrm{Poisson}(8)$。

(1) $P(X=5)$

$$P(X=5)=\frac{8^5{e}^{-8}}{5!}$$

(2) $P(X>10)$

$$P(X>10)=1-P(X\le 10)$$ $$P(X\le 10)=\sum _{x=0}^{10}\frac{8^x{e}^{-8}}{x!}$$

因此：

$$P(X>10)=1-\sum _{x=0}^{10}\frac{8^x{e}^{-8}}{x!}$$

(3) 半小时期望值 半小时的参数：

$${\lambda }_{0.5}=8\left(\frac{1}{2}\right)=4$$ $$E(X_{0.5})=4$$

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泊松分布：$P(X=x)=\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}$。 $P(X>10)$ 必须写成“1 减去累加至 10 的和”。 时间缩短比例＝参数按比例缩短。

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Q4 — Poisson + Binomial Composite（泊松 + 稀释）

Question (EN): Website visits follow a Poisson process with rate $\lambda =30$ per hour. Each visitor makes a purchase independently with probability $p=0.10$.

Find the probability that exactly 3 purchases occur in one hour.

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某网站的访问量服从泊松过程，每小时平均有 $\lambda =30$ 个访客。 每一位访客独立地以 $p=0.10$ 的概率进行购买。

求：一小时内恰好有 3 次购买的概率。

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记一小时内访客总数为 $N$，则 $N\sim \mathrm{Poisson}(30)$ 每个访客独立以 $p=0.1$ 购买，购买次数 $Y$ 等于 “对 $N$ 进行 Bernoulli($0.1$) 稀释” 的结果。 根据泊松稀释（thinning）性质： $Y\sim \mathrm{Poisson}({\lambda }_{\text{buy}}),{\lambda }_{\text{buy}}=\lambda p=30\times 0.1=3$ 因此，一小时内恰好 3 次购买的概率为

$$P(Y=3)=\frac{3^3{e}^{-3}}{3!}$$

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1. 原始过程：访客数 $N$ 服从 $\mathrm{Poisson}(30)$。

2. 对每个访客，用概率 $p=0.1$ 决定是否购买，相当于对泊松过程做“稀释”：

   • 每个事件（访客）以概率 $p$ 保留（变成“购买”）
   • 以概率 $1-p$ 丢弃（不购买）

3. 泊松稀释定理：

   • 若 $N\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$
   • 每个事件以概率 $p$ 保留
   • 则保留事件数 $Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda p)$

4. 代入 $\lambda =30,p=0.1$，得 ${\lambda }_{\text{buy}}=3$。

5. 利用泊松概率公式： $P(Y=y)=\frac{{\lambda }^y{e}^{-\lambda }}{y!}$ 在 $y=3,\lambda =3$ 时代入即可。

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Q5 — Uniform Distribution（连续均匀分布）

Question (EN): A continuous random variable $X$ is uniformly distributed on the interval $[10,25]$.

Find:

1. $E(X)$
2. $\mathrm{Var}(X)$
3. $P(15<X<20)$

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连续型随机变量 $X$ 在区间 $[10,25]$ 上服从均匀分布。 求：

1. $E(X)$
2. $\mathrm{Var}(X)$
3. $P(15<X<20)$

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若 $X\sim U[a,b]$，则有标准公式：

$$E(X)=\frac{a+b}{2},\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

此处 $a=10,b=25$。

(1) 期望值

$$E(X)=\frac{10+25}{2}=\frac{35}{2}=17.5$$

(2) 方差

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{(25-10{)}^2}{12}=\frac{15^2}{12}=\frac{225}{12}=18.75$$

(3) 区间概率 $P(15<X<20)$ 均匀分布的概率 = 区间长度 / 总长度：

$$P(15<X<20)=\frac{20-15}{25-10}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$

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1. 均匀分布 $U[a,b]$ 在整个区间上密度常数为 $f(x)=\frac{1}{b-a},a<x<b$

2. 期望与方差为标准结果：

   • $E(X)=\frac{a+b}{2}$：中心点
   • $\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$：由积分推导出

3. 对于区间概率 $P(c<X<d)={\int }_c^{d}f(x),dx=\frac{d-c}{b-a}$ 所以只要算“长度比”即可。

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Q6 — Normal Distribution (z-score)（正态分布与 z 分数）

Question (EN): Heights of a population follow a normal distribution $X\sim N(168,7^2)$ (in cm).

Find:

1. $P(X>180)$
2. $P(160<X<175)$
3. The $90$th percentile (the height $x$ such that $P(X\le x)=0.90$)

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某总体身高 $X$ 服从正态分布 $N(168,7^2)$（单位：厘米）。 求：

1. $P(X>180)$
2. $P(160<X<175)$
3. 第 $90$ 百分位数（使得 $P(X\le x)=0.90$ 的身高 $x$）。

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记标准正态随机变量 $Z\sim N(0,1)$，并用

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

进行标准化。

(1) $P(X>180)$

$$Z=\frac{X-168}{7}$$

对 $X=180$：

$$z=\frac{180-168}{7}=\frac{12}{7}\approx 1.714$$

所以

$$P(X>180)=P\left(Z>\frac{12}{7}\right)=1-\Phi \left(\frac{12}{7}\right)$$

其中 $\Phi (\cdot )$ 是标准正态分布的累积分布函数。

(2) $P(160<X<175)$

对端点分别标准化：

$$z_1=\frac{160-168}{7}=\frac{-8}{7}\approx -1.143$$ $$z_2=\frac{175-168}{7}=\frac{7}{7}=1$$

则

$$P(160<X<175)=P(z_1<Z<z_2)=\Phi (1)-\Phi \left(-\frac{8}{7}\right)$$

(3) 第 $90$ 百分位数

我们要找 $x$，使得：

$$P(X\le x)=0.90$$

标准化：

$$P\left(Z\le \frac{x-168}{7}\right)=0.90$$

设 $z_{0.90}$ 满足 $P(Z\le z_{0.90})=0.90$（由标准正态表查得 $z_{0.90}\approx 1.281$）， 则有

$$\frac{x-168}{7}=z_{0.90}\approx 1.281$$ $$x=168+1.281\times 7\approx 176.97$$

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1. 所有正态题思路：

   • 先写出 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$
   • 把题目给的 $X$ 区间变成 $Z$ 区间
   • 再用标准正态分布的 $\Phi (z)$ 查表求概率

2. 大于某值：

   • $P(X>c)=P(Z>z_c)=1-\Phi (z_c)$

3. 中间区间：

   • $P(a<X<b)=P(z_a<Z<z_b)=\Phi (z_b)-\Phi (z_a)$

4. 百分位数：

   • 先在表里找到使得 $P(Z\le z_p)=p$ 的 $z_p$，
   • 再由 $z_p=\frac{x-\mu }{\sigma }$ 解出 $x$。

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Q7 — Normal Approximation Interval（正态分布：中间区间）

Question (EN): If $X\sim N(300,40^2)$, find the interval that contains the middle $80$ of the distribution.

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若 $X\sim N(300,40^2)$，求覆盖中间 $80$ 概率的区间。

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中间 $80$，说明两侧一共还有 $20$，左右对称，各占 $10$。

设标准正态随机变量 $Z\sim N(0,1)$，则 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{X-300}{40}$

中间 $80$ 对应： $P(-z_{0.10}<Z<z_{0.10})=0.80$ 其中 $z_{0.10}$ 满足 $P(Z<z_{0.10})=1-0.10=0.90$ 查标准正态表可得 $z_{0.10}\approx 1.281$

把它换回 $X$：

\quad\Rightarrow\quad X_{\text{lower}}=300-1.281\times40=248.8$$ $$\frac{X_{\text{upper}}-300}{40}=1.281 \quad\Rightarrow\quad X_{\text{upper}}=300+1.281\times40=351.2$$ 所以中间 $80%$ 的区间为 $$(248.8,\ 351.2)$$

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1. “中间 $80$” = 左右尾巴各 $10$，即 $P(-z_{0.10}<Z<z_{0.10})=0.80$
2. 利用正态分布对称性： $P(Z<z_{0.10})=0.90\Rightarrow z_{0.10}\approx 1.281$
3. 用 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 把 $z$ 换回 $X$，单独解出上下界。
4. 结论：中间区间总是 $\mu \pm z_{\alpha /2}\sigma$ 的形式。

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Q8 — Sampling Distribution SE（抽样分布：标准误与左尾概率）

Question (EN): A population has mean $\mu =520$ and standard deviation $\sigma =48$. A simple random sample of size $n=64$ is taken.

Find:

1. The standard error ${\sigma }_{\bar{X}}$
2. $P(\bar{X}<510)$

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某总体的均值为 $\mu =520$，标准差为 $\sigma =48$。 抽取容量为 $n=64$ 的简单随机样本。

求：

1. 样本均值的标准误 ${\sigma }_{\bar{X}}$
2. $P(\bar{X}<510)$

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对样本均值 $\bar{X}$，其抽样分布为 $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)=N\left(520,\frac{48^2}{64}\right)$

(1) 标准误 ${\sigma }_{\bar{X}}$ ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{48}{\sqrt{64}}=\frac{48}{8}=6$

(2) $P(\bar{X}<510)$ 将 $\bar{X}$ 标准化为 $Z$： $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{{\sigma }_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-520}{6}$ 对 $\bar{X}=510$： $z=\frac{510-520}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\approx -1.667$ 所以 $P(\bar{X}<510)=P\left(Z<-\frac{5}{3}\right)=\Phi \left(-\frac{5}{3}\right)$ （其中 $\Phi (\cdot )$ 为标准正态分布的累积分布函数。）

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1. 对于均值的抽样分布： $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$ 标准差就是“标准误”： ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
2. 概率题统一用 $Z$ 转换： $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{{\sigma }_{\bar{X}}}$
3. 把具体值 $\bar{X}=510$ 代入，得到对应的 $z$，再用 $\Phi (z)$ 给出结果的数学形式。
4. 真正考试中只要会写出完整公式与 $z$ 值，表格查数即可完成。

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Q9 — Sampling Distribution Interval（抽样分布：区间概率）

Question (EN): For a population with mean $\mu =240$ and standard deviation $\sigma =30$, a sample of size $n=100$ is taken.

Find $P(235<\bar{X}<245)$.

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某总体 $\mu =240,\sigma =30$，抽取容量 $n=100$ 的样本。 求样本均值的概率：$P(235<\bar{X}<245)$。

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样本均值的抽样分布为： $\bar{X}\sim N\left(240,\frac{30^2}{100}\right)=N(240,3^2)$

标准误： ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{30}{\sqrt{100}}=3$

将端点分别标准化： $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{{\sigma }_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-240}{3}$ 对下界 $235$： $z_1=\frac{235-240}{3}=\frac{-5}{3}\approx -1.667$ 对上界 $245$： $z_2=\frac{245-240}{3}=\frac{5}{3}\approx 1.667$

因此 $P(235<\bar{X}<245)=P(z_1<Z<z_2)=\Phi (1.667)-\Phi (-1.667)$

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1. 样本均值的抽样分布仍然是正态（原总体正态或 $n$ 足够大均可）。

2. 区间概率的一般形式：

   =\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}\right)$$

3. 关键步骤：

   • 先求标准误 ${\sigma }_{\bar{X}}$
   • 再把区间端点换成对应的 $z$ 值
   • 用标准正态的 $\Phi$ 函数表达答案。

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Q10 — Confidence Interval (σ known)（置信区间：均值 σ 已知）

Question (EN): A sample of size $n=49$ has sample mean $\bar{X}=802$. The population standard deviation is known to be $\sigma =21$. Construct a 99% confidence interval for the population mean $\mu$.

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题目（中文）： 给定样本量 $n=49$，样本均值 $\bar{X}=802$，总体标准差已知为 $\sigma =21$。 构造总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间。

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置信区间公式：

$$\bar{X}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

由于置信度为 $99$：

$$\alpha =0.01,\alpha /2=0.005,z_{0.005}=2.576$$

(1) 标准误（SE）

$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{21}{\sqrt{49}}=3$$

(2) 边际误差（ME）

$$ME=2.576\times 3=7.728$$

(3) 置信区间

$$\mu \in (802-7.728,;802+7.728)$$ $$\mu \in (794.272,;809.728)$$

结论： 99% CI 为 $(794.27,;809.73)$（四舍五入）。

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• 已知 $\sigma$ → 使用 $z$ 区间，而非 $t$ 区间。
• 步骤：求 SE → 求 ME → 套用区间公式。
• 更高置信度意味着更大的 $z$，从而更宽的区间。

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Q11 — Confidence Interval for Proportion（比例的置信区间）

Question (EN): In a sample of $400$ individuals, $112$ support a policy. Construct a 95% confidence interval for the population proportion $p$.

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题目（中文）： 在 $400$ 名受访者中，有 $112$ 人支持该政策。 构造总体支持率 $p$ 的 95% 置信区间。

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样本比例：

$$\hat{p}=\frac{112}{400}=0.28$$

(1) 标准误（SE）

$$SE=\sqrt{\frac{0.28(1-0.28)}{400}}$$

(2) 95% 的 $z$ 值

$$z_{0.025}=1.96$$

(3) 边际误差（ME）

$$ME=1.96\sqrt{\frac{0.28(0.72)}{400}}$$

(4) 置信区间

$$p\in \left(\hat{p}-ME,;\hat{p}+ME\right)$$ $$p\in \left(0.28-1.96\sqrt{\frac{0.28(0.72)}{400}},;0.28+1.96\sqrt{\frac{0.28(0.72)}{400}}\right)$$

结论： 用公式即可得到最终比例区间。

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• 比例的区间必须满足：$n\hat{p}\ge 10$、$n(1-\hat{p})\ge 10$。
• 置信区间标准公式： $$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}SE$$
• $p$ 的区间直接代入即可。

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Q12 — CI Comparison（为什么 99% CI 更宽？）

Question (EN): Explain why a 99% confidence interval is wider than a 95% confidence interval.

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题目（中文）： 解释为什么 99% 置信区间 会比 95% 置信区间 更宽。

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均值区间公式：

$$\bar{X}\pm z_{\alpha /2}SE$$

对 95%：

$$z_{0.025}=1.96$$

对 99%：

$$z_{0.005}=2.576$$

因为：

$$2.576>1.96$$

所以边际误差

$$ME=z_{\alpha /2}\cdot SE$$

在 99% 情况下更大，区间自然更宽。

结论： 置信度 ↑ → $z$ 值 ↑ → 区间更宽。

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• 宽度取决于 $z_{\alpha /2}$。
• 置信度越高 → 尾部概率越小 → 查表得到更大的 $z$。
• 因此数学上必然有 99% CI > 95% CI。

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Q13 — CLT Application（中心极限定理）

Question (EN): A population is right-skewed with mean $\mu =260$ and standard deviation $\sigma =80$. A sample of size $n=50$ is drawn. Is $\bar{X}$ approximately normal?

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题目（中文）： 总体右偏，均值 $\mu =260$，标准差 $\sigma =80$。 若抽取样本量 $n=50$，样本均值 $\bar{X}$ 是否近似正态？

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因为样本量 $n=50\ge 30$，满足中心极限定理条件。

即使总体偏态，

$$\bar{X}\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

结论： 是，样本均值近似正态。

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• CLT：样本量 $\ge 30$ 时，$\bar{X}$ 近似正态，与总体形状无关。
• 本题 $50>30$，因此可直接判断为正态。

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Q14 — Combined Distribution（泊松 + 正态复合）

Question (EN): Daily visitors follow $N\sim \text{Poisson}(120)$. Each visitor spends $X\sim N(30,9)$. Total revenue is

$$R=\sum _{i=1}^N{X}_i$$

Find $E(R)$ and $\mathrm{Var}(R)$.

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题目（中文）： 每日来访人数 $N\sim \text{Poisson}(120)$，单个顾客消费 $X\sim N(30,9)$。 总收入：

$$R=\sum _{i=1}^N{X}_i$$

求 $E(R)$ 与 $\mathrm{Var}(R)$。

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复合泊松性质：

$$E(R)=E(N)E(X)$$ $$\mathrm{Var}(R)=E(N)\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(N)[E(X){]}^2$$

已知：

$$E(N)=\mathrm{Var}(N)=120,E(X)=30,\mathrm{Var}(X)=9$$

(1) 期望

$$E(R)=120\cdot 30=3600$$

(2) 方差

$$\mathrm{Var}(R)=120\cdot 9+120\cdot 30^2$$ $$=1080+108000=109080$$

结论： $E(R)=3600$，$\mathrm{Var}(R)=109080$。

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• 泊松随机和的通用结果： $$E\left(\sum X_i\right)=E(N)E(X)$$ $$\mathrm{Var}\left(\sum X_i\right)=E(N)\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(N)[E(X){]}^2$$

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Q15 — Binomial → Normal Approximation（二项分布正态近似）

Question (EN): A process has success probability $p=0.4$ and $n=400$ trials. Approximate $P(X>180)$ using the normal approximation to the binomial distribution.

• All formulas must use standard normal $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$.
• Do not use continuity correction unless necessary.

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题目（中文）： 某过程成功概率为 $p=0.4$，共 $n=400$ 次试验。 使用**正态近似（二项 → 正态）**估计 $P(X>180)$。

• 使用标准化公式 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$
• 不需要使用连续性校正

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Step 1 — Compute $\mu$ and $\sigma$

$$\mu =np=400(0.4)=160$$ $$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{400(0.4)(0.6)}=\sqrt{96}=9.798$$

Step 2 — Convert to Z-score

$$P(X>180)\approx P\left(Z>\frac{180-160}{9.798}\right)$$ $$z=\frac{20}{9.798}=2.041$$

Step 3 — Final probability

$$P(X>180)=1-\Phi (2.041)$$

结论： 二项分布可近似为正态，概率等于 $1-\Phi (2.041)$。

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• 二项分布满足 $np\ge 10$、$n(1-p)\ge 10$ 可用正态近似。
• 将二项变量标准化为 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$。
• 最后使用 $1-\Phi (z)$ 表达右尾概率。

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Q16 — Confidence Interval Decision（置信区间判断）

Question (EN): A 95% confidence interval for the mean monthly bill is $(92,108)$. A company claims the true mean is $110$. Based on the CI, should the claim be accepted?

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题目（中文）： 某月账单均值的 95% 置信区间为 $(92,108)$。 公司声称真实均值为 $110$。 根据该区间，是否接受该主张？

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因为

$$110\notin (92,;108)$$

所以该主张与样本信息不一致。

结论： 不能接受公司“均值为 $110$”的说法。

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• 若主张值 落在区间内 → 样本支持主张
• 若主张值 落在区间外 → 样本不支持
• 因为 $110$ 超出上界 $108$，故拒绝其主张。

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Q17 — Required Sample Size（样本量需求）

Question (EN): We want margin of error $ME=2$ for a 95% CI. Population standard deviation is $\sigma =15$. Find the minimum required sample size $n$.

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题目（中文）： 构造 95% 置信区间，要求边际误差 $ME=2$。 已知总体标准差 $\sigma =15$。 求所需最小样本量 $n$。

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置信区间边际误差：

$$ME=z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

95% →

$$z_{0.025}=1.96$$

代入方程：

$$2=1.96\cdot \frac{15}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n}=\frac{1.96\times 15}{2}=14.7$$ $$n=14.7^2=216.09$$

向上取整：

$$n=217$$

结论： 需要至少 $217$ 个样本。

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• 先写边际误差公式
• 将 $ME$ 设为目标值
• 解出 $n$ 并向上取整（确保误差不超过要求）

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Q18 — Two-step Probability（两阶段概率）

Question (EN): Machine failures follow a Poisson distribution with $\lambda =2$ per week. If a failure occurs, the machine requires 3 days of repair with probability $0.6$. Find the long-run probability the machine is under repair at a random time.

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题目（中文）： 机器故障服从泊松分布，$\lambda =2$/周。 若发生故障，则有 $0.6$ 概率需要维修 3 天。 求机器在任意时刻处于“维修状态”的长期概率。

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每周 7 天中：

• 期望故障次数 $=2$
• 每次维修时长 $=3$ 天（概率 $0.6$）

期望维修时间/周

$$E(\text{repair time})=2\times 0.6\times 3=3.6\text{ days}$$

长期维修概率

$$P(\text{under repair})=\frac{3.6}{7}=0.514$$

结论： 大约 $51.4$ 的时间处于维修状态。

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• 每次故障贡献期望维修时间 $0.6\times 3$ 天
• 一周期望故障 2 次
• 长期占比＝维修天数 / 总天数
• 本质上是期望值线性叠加

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Q19 — Sampling Distribution（抽样分布）

Question (EN): Population mean $\mu =75$, standard deviation $\sigma =20$. Sample size $n=25$. Compute:

• $P(\bar{X}>80)$
• $P(70<\bar{X}<85)$

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题目（中文）： 已知 $\mu =75$，$\sigma =20$，样本量 $n=25$。 求：

• $P(\bar{X}>80)$
• $P(70<\bar{X}<85)$

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标准误（SE）

$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{20}{\sqrt{25}}=4$$

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(1) $P(\bar{X}>80)$

$$z=\frac{80-75}{4}=1.25$$ $$P(\bar{X}>80)=1-\Phi (1.25)$$

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(2) $P(70<\bar{X}<85)$

$$z_1=\frac{70-75}{4}=-1.25$$ $$z_2=\frac{85-75}{4}=2.5$$ $$P(z_1<Z<z_2)=\Phi (2.5)-\Phi (-1.25)$$

结论： 采用抽样分布 $N(75,4^2)$ 转成 Z 值求概率。

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• 样本均值服从 $N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$。
• 区间概率统统通过 Z-score 求解。
• 左尾 → $\Phi (z)$，右尾 → $1-\Phi (z)$。

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Q20 — Poisson + Normal + CI（综合题）

Question (EN): Calls arrive following a Poisson process with $\lambda =48$ per hour. Call duration is normal $X\sim N(6,1.2^2)$ minutes. A sample of $40$ calls has sample mean $6.3$. Find:

1. Expected total talk time per hour
2. Variance of total talk time
3. 95% CI for mean call duration

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题目（中文）： 呼叫中心来电率 $\lambda =48$/小时。 单通话时间 $X\sim N(6,1.2^2)$（分钟）。 抽样 40 通话得到均值 $6.3$。 求：

1. 单小时期望总通话时间
2. 总通话时间的方差
3. 通话均值的 95% 置信区间

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(1) 期望总通话时间

$$E(T)=\lambda E(X)=48(6)=288\text{ mins}$$

(2) 方差 复合泊松：

$$\mathrm{Var}(T)=\lambda ({\sigma }^2+{\mu }^2)$$ $$=48(1.44+36)=48(37.44)=1797.12$$

(3) 95% 置信区间 标准误：

$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{1.2}{\sqrt{40}}=0.19$$ $$ME=1.96(0.19)=0.372$$ $$\mu \in (6.3-0.372,;6.3+0.372)$$

结论： CI = $(5.93,;6.67)$。

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• 泊松求和：$E=\lambda \mu$、$\mathrm{Var}=\lambda ({\sigma }^2+{\mu }^2)$
• 样本均值 CI：$\bar{X}\pm zSE$
• 区间取 1.96 因为置信度是 95%

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