Quiz 2.3

Q1 — Sampling Distribution: Silicon Valley Income（硅谷收入的抽样分布）

Question (EN): The annual income of tech workers in Silicon Valley has:

• population mean $\mu =$135{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$52{,}000$

A sample of $n=64$ workers is selected.

Compute:

1. The standard error of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}>140,000)$

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题目（中文）： 硅谷科技员工的年收入服从：

• 总体均值 $\mu =$135{,}000$
• 总体标准差 $\sigma =$52{,}000$

随机抽取 $n=64$ 名员工。求：

1. 样本均值的标准误 $SE$
2. $P(\bar{X}>140,000)$

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(1) Standard Error

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{52000}{8}=6500$$

(2) Probability $P(\bar{X}>140000)$ Z-score:

$$z=\frac{140000-135000}{6500}=0.769$$

Probability:

$$P(\bar{X}>140000)=1-\Phi (0.769)$$

结论： 概率由标准正态表计算 $1-\Phi (0.769)$。

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• 样本均值抽样分布： $$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$
• 求 SE → 代入 $\sigma /\sqrt{n}$
• 计算 Z 值并求右尾概率

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✅ Q2 — Sampling Distribution: Bank Employees（银行职员收入）

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Question (EN): Bank employee salaries follow:

• $\mu =$78{,}000$
• $\sigma =$26{,}000$
• population size $N=500,000$

A sample of $n=100$ is taken. Compute:

1. Standard error
2. $P(75,000<\bar{X}<82,000)$

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题目（中文）： 银行员工收入：

• 总体均值 $\mu =$78{,}000$
• 总体标准差 $\sigma =$26{,}000$
• 总体规模 $N=500,000$

抽取样本 $n=100$，求：

1. 标准误
2. $P(75,000<\bar{X}<82,000)$

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(1) Standard Error

$$SE=\frac{26000}{\sqrt{100}}=2600$$

(2) Interval Probability

$$z_1=\frac{75000-78000}{2600}=-1.154$$ $$z_2=\frac{82000-78000}{2600}=1.538$$ $$P(75000<\bar{X}<82000)=\Phi (1.538)-\Phi (-1.154)$$

结论： 区间概率由 $\Phi$ 查表得到。

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• $n=100$ → 样本均值服从正态
• 区间概率 → 两个 Z 值之差
• 大总体（$N$ 远大于 $n$），无需有限总体校正

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✅ Q3 — Sampling Mean Probability: Los Angeles Office Workers（洛杉矶办公人员收入）

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Question (EN): The population of office workers in Los Angeles has:

• population mean $\mu =92,000$
• population standard deviation $\sigma =30,000$

A sample of $n=49$ is selected.

Compute:

1. The sampling distribution of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}>95,000)$

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题目（中文）： 洛杉矶办公人员收入总体：

• 均值 $\mu =92,000$
• 标准差 $\sigma =30,000$

抽取 $n=49$ 人样本。求：

1. 样本均值的抽样分布
2. $P(\bar{X}>95,000)$

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(1) Sampling Distribution

$$\bar{X}\sim N\left(92000,;\frac{30000^2}{49}\right)$$

Standard error:

$$SE=\frac{30000}{7}=4285.71$$

(2) Probability

$$z=\frac{95000-92000}{4285.71}=0.700$$

Probability:

$$P(\bar{X}>95000)=1-\Phi (0.700)$$

结论： 概率由标准正态表求 $1-\Phi (0.700)$。

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• 样本量 $49$ 足够大，抽样均值近似正态
• 求分布 → 写出 $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$
• 求概率 → 转换到 Z→ 查表

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Q4 — Sampling Mean: Real Estate Agents（房地产经纪人收入的样本均值）

Question (EN): The annual income of real-estate agents in Miami has:

• population mean $\mu =$110{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$70{,}000$

A sample of $n=36$ agents is selected.

Compute:

1. The standard error of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}<100,000)$

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题目（中文）： 迈阿密房地产经纪人的年收入：

• 总体均值 $\mu =$110{,}000$
• 总体标准差 $\sigma =$70{,}000$

现随机抽取 $n=36$ 名经纪人，求：

1. 样本均值 $\bar{X}$ 的标准误 $SE$
2. 概率 $P(\bar{X}<100,000)$

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(1) Standard Error

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{70000}{\sqrt{36}}=\frac{70000}{6}\approx 11666.67$$

(2) Probability $P(\bar{X}<100000)$ Z-score：

$$z=\frac{100000-110000}{SE}=\frac{-10000}{11666.67}\approx -0.857$$

概率：

$$P(\bar{X}<100000)=P(Z<-0.857)=\Phi (-0.857)$$

结论： 使用标准正态分布表查 $\Phi (-0.857)$ 即得数值结果。

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• 样本均值抽样分布：$\bar{X}\sim N!\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$。
• 先用 $SE=\sigma /\sqrt{n}$ 算出样本均值的标准误。
• 再将目标值 $100000$ 转成 $z$，用 $P(Z<z)$ 求左尾概率。

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Q5 — Sampling Distribution & Probability（抽样分布与右尾概率）

Question (EN): Starting salaries of college graduates have:

• population mean $\mu =$55{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$15{,}000$

A sample of $n=64$ graduates is collected.

Compute:

1. The sampling distribution of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}>58,000)$

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题目（中文）： 大学毕业生起薪的总体：

• 均值 $\mu =$55{,}000$
• 标准差 $\sigma =$15{,}000$

抽取 $n=64$ 名毕业生样本，求：

1. 样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布
2. 概率 $P(\bar{X}>58,000)$

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(1) Sampling Distribution

$$\bar{X}\sim N!\left(55000,;\frac{15000^2}{64}\right)$$

标准误：

$$SE=\frac{15000}{\sqrt{64}}=\frac{15000}{8}=1875$$

(2) Probability $P(\bar{X}>58000)$

$$z=\frac{58000-55000}{1875}=\frac{3000}{1875}=1.6$$ $$P(\bar{X}>58000)=P(Z>1.6)=1-\Phi (1.6)$$

结论： 概率等于 $1-\Phi (1.6)$，查表即可得到具体数值。

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• 样本均值服从 $N!\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$。
• 利用已知 $\mu$、$\sigma$ 与 $n$ 写出分布并求出 $SE$。
• 将 $58000$ 标准化成 Z，再求右尾概率 $P(Z>z)=1-\Phi (z)$。

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Q6 — Sampling Mean Probabilities: Nurses in Chicago（芝加哥护士收入的样本均值概率）

Question (EN): Income of hospital nurses in Chicago follows:

• population mean $\mu =$89{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$22{,}000$

A random sample of $n=81$ nurses is chosen.

Compute:

1. $P(\bar{X}<87,000)$
2. $P(90,000<\bar{X}<95,000)$

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题目（中文）： 芝加哥医院护士收入总体：

• 均值 $\mu =$89{,}000$
• 标准差 $\sigma =$22{,}000$

抽取 $n=81$ 名护士样本，求：

1. $P(\bar{X}<87,000)$
2. $P(90,000<\bar{X}<95,000)$

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标准误（SE）

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{22000}{\sqrt{81}}=\frac{22000}{9}\approx 2444.44$$

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(1) $P(\bar{X}<87000)$

$$z_1=\frac{87000-89000}{2444.44}=\frac{-2000}{2444.44}\approx -0.818$$ $$P(\bar{X}<87000)=\Phi (-0.818)$$

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(2) $P(90000<\bar{X}<95000)$

$$z_2=\frac{90000-89000}{2444.44}=\frac{1000}{2444.44}\approx 0.409$$ $$z_3=\frac{95000-89000}{2444.44}=\frac{6000}{2444.44}\approx 2.455$$ $$P(90000<\bar{X}<95000)=\Phi (2.455)-\Phi (0.409)$$

结论： 利用两个 Z 值之差得到区间概率。

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• 首先求出样本均值的标准误 $SE=\sigma /\sqrt{n}$。
• 对每个端点分别标准化：$z=\frac{\bar{X}-\mu }{SE}$。
• 左尾概率：用 $\Phi (z)$；区间概率：用 $\Phi (z_{\text{上}})-\Phi (z_{\text{下}})$。

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Q7 — Sampling Error and Right-Tail Probability（样本量与右尾概率）

Question (EN): Tax professionals have annual income with:

• population mean $\mu =$120{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$40{,}000$

A simple random sample of $n=100$ tax professionals is selected.

Compute:

1. The standard error of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}>125,000)$

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题目（中文）： 税务师的年收入总体特征为：

• 均值 $\mu =$120{,}000$
• 标准差 $\sigma =$40{,}000$

现随机抽取 $n=100$ 名税务师。求：

1. 样本均值 $\bar{X}$ 的标准误 $SE$
2. 概率 $P(\bar{X}>125,000)$

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(1) Standard Error

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{40000}{\sqrt{100}}=\frac{40000}{10}=4000$$

(2) Probability $P(\bar{X}>125000)$ 样本均值抽样分布：

$$\bar{X}\sim N!\left(120000,;\frac{40000^2}{100}\right)$$

标准化：

$$z=\frac{125000-120000}{4000}=\frac{5000}{4000}=1.25$$

概率：

$$P(\bar{X}>125000)=P(Z>1.25)=1-\Phi (1.25)$$

结论： 概率为 $1-\Phi (1.25)$，可通过标准正态表或计算器得到数值结果。

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• 样本均值的标准误公式：$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。
• 把目标样本均值 $125000$ 转成标准正态 $Z=\frac{\bar{X}-\mu }{SE}$。
• 右尾概率统一写为 $P(Z>z)=1-\Phi (z)$。

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Q8 — Sampling Mean and Left-Tail Probability（样本均值与左尾概率）

Question (EN): Automotive engineers nationwide have income with:

• population mean $\mu =$102{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$28{,}000$

A sample of $n=50$ engineers is selected.

Compute:

1. The standard error of $\bar{X}$
2. $P(\bar{X}<97,000)$

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题目（中文）： 全美汽车工程师的年收入：

• 总体均值 $\mu =$102{,}000$
• 总体标准差 $\sigma =$28{,}000$

现抽取 $n=50$ 名工程师样本，求：

1. 样本均值 $\bar{X}$ 的标准误 $SE$
2. 概率 $P(\bar{X}<97,000)$

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(1) Standard Error

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{28000}{\sqrt{50}}$$

（可保留根号形式或再化简）

(2) Probability $P(\bar{X}<97000)$ 抽样分布：

$$\bar{X}\sim N!\left(102000,;\frac{28000^2}{50}\right)$$

标准化：

$$z=\frac{97000-102000}{SE}=\frac{-5000}{28000/\sqrt{50}}=\frac{-5000\sqrt{50}}{28000}$$

概率：

$$P(\bar{X}<97000)=P!\left(Z<\frac{-5000\sqrt{50}}{28000}\right)=\Phi !\left(\frac{-5000\sqrt{50}}{28000}\right)$$

结论： 使用 $\Phi (\cdot )$ 查标准正态表即可得到数值概率。

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• 样本均值服从 $N!\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$。
• 左尾概率统一写成 $P(Z<z)=\Phi (z)$。
• 本题可以保留含根号的精确表达形式，考试中再用计算器求近似值。

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Q9 — Financial Analysts: CI and Probability（金融分析师：置信区间与概率）

Question (EN): Financial analysts have income with:

• population mean $\mu =$140{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$60{,}000$

A sample of $n=100$ analysts is selected.

Compute:

1. A 90% confidence interval for $\mu$
2. $P(\bar{X}>150,000)$

(Assume the sample mean $\bar{X}=140,000$ for the CI in part (1).)

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题目（中文）： 金融分析师的年收入总体：

• 均值 $\mu =$140{,}000$
• 标准差 $\sigma =$60{,}000$

现抽取 $n=100$ 名分析师。

1. 已知样本均值 $\bar{X}=140,000$，构造总体均值 $\mu$ 的 90% 置信区间。
2. 计算 $P(\bar{X}>150,000)$。

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(1) 90% Confidence Interval 标准误：

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{60000}{\sqrt{100}}=\frac{60000}{10}=6000$$

90% 置信度：

$$z_{0.05}=1.645$$

置信区间：

$$\mu \in \left(\bar{X}-z_{0.05}SE,;\bar{X}+z_{0.05}SE\right)$$ $$\mu \in \left(140000-1.645\cdot 6000,;140000+1.645\cdot 6000\right)$$

(2) $P(\bar{X}>150000)$ 抽样分布：

$$\bar{X}\sim N!\left(140000,;\frac{60000^2}{100}\right)$$

标准误仍为 $SE=6000$，

$$z=\frac{150000-140000}{6000}=\frac{10000}{6000}=1.667$$

概率：

$$P(\bar{X}>150000)=P(Z>1.667)=1-\Phi (1.667)$$

结论：

• 90% CI 以 $\bar{X}$ 为中心，两侧各延伸 $1.645\cdot SE$。
• 概率用右尾 $1-\Phi (1.667)$ 表示。

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• 部分 (1)：已知 $\sigma$ 且 $n=100$ 较大 → 使用 $z$ 置信区间： $$\bar{X}\pm z_{\alpha /2}SE$$
• 90% 置信度对应 $\alpha =0.10$，$\alpha /2=0.05$，故 $z_{0.05}=1.645$。
• 部分 (2)：标准化后用 $P(Z>z)$ 形式表达。

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Q10 — Manager Salaries: Deviation from the Mean（经理收入：与均值的偏差）

Question (EN): Managers at a corporation have annual salaries with:

• population mean $\mu =$95{,}000$
• population standard deviation $\sigma =$25{,}000$

A random sample of $n=64$ managers is selected.

Compute:

1. $P(\bar{X}>100,000)$
2. The probability that $\bar{X}$ differs from $\mu$ by less than $3,000$, i.e. $P(|\bar{X}-\mu |<3000)$

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题目（中文）： 某公司经理年薪总体：

• 均值 $\mu =$95{,}000$
• 标准差 $\sigma =$25{,}000$

随机抽取 $n=64$ 名经理。求：

1. $P(\bar{X}>100,000)$
2. 样本均值与总体均值偏差小于 $3,000$ 的概率，即 $P(|\bar{X}-\mu |<3000)$

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标准误（SE）

$$SE=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{25000}{\sqrt{64}}=\frac{25000}{8}=3125$$

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(1) $P(\bar{X}>100000)$

$$z=\frac{100000-95000}{3125}=\frac{5000}{3125}=1.6$$ $$P(\bar{X}>100000)=P(Z>1.6)=1-\Phi (1.6)$$

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(2) $P(|\bar{X}-\mu |<3000)$ 条件：

$$|\bar{X}-95000|<3000⟺92000<\bar{X}<98000$$

标准化两端：

$$z_1=\frac{92000-95000}{3125}=\frac{-3000}{3125}=-0.96$$ $$z_2=\frac{98000-95000}{3125}=\frac{3000}{3125}=0.96$$

概率：

$$P(|\bar{X}-\mu |<3000)=P(92000<\bar{X}<98000)=\Phi (0.96)-\Phi (-0.96)$$

结论： 用对称区间 $(-0.96,0.96)$ 的标准正态概率来表示。

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• 先求出样本均值的标准误 $SE$。
• (1) 是一个简单的右尾问题：$P(Z>z)$。
• (2) “偏差小于某值” → 转成对称区间： $$P(|\bar{X}-\mu |<c)=P(\mu -c<\bar{X}<\mu +c)$$ 再用两个 Z 值求 $\Phi (z_2)-\Phi (z_1)$。

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